Покажем, что люди в возрасте от 1 до 18 лет в счастливую пару входить не могут. Обозначим через x возраст самого молодого человека, входящего в счастливую пару и через y возраст его партнера. Тогда имеет место неравенство x ≥ y/2 + 9 или (x-y/2) ≥ 9. Заметим, что (x-y/2) < x/2, поскольку y > x. Имеет место неравенство 2(x-y/2) ≥ 18, но так как 2(x-y/2) < x, то x > 18, то есть, возраст самого молодого человека, входящего в счастливую пару, строго больше 18 лет.
Покажем, что все пары (19, 20), (21, 22), (23, 24), ..., (93, 94) будут счастливыми. Легко проверить, что если x >= 10, то для чисел 2x-1 и 2x имеют место неравенства 2x-1 >= x + 9 и 2x >= (2x-1)/2 + 9. Всего счастливых пар будет 92/2 - 18/2 = 46 - 9 = 37.
При решении этих неравенств надо понимать, что графиком квадратичной функции является парабола. Ветвями вверх или вниз. Если хорошо понимать, как проходит парабола,легко поставить знаки квадратичной функции и потом ответить на вопрос задания.
Покажем, что люди в возрасте от 1 до 18 лет в счастливую пару входить не могут. Обозначим через x возраст самого молодого человека, входящего в счастливую пару и через y возраст его партнера. Тогда имеет место неравенство x ≥ y/2 + 9 или (x-y/2) ≥ 9. Заметим, что (x-y/2) < x/2, поскольку y > x. Имеет место неравенство 2(x-y/2) ≥ 18, но так как 2(x-y/2) < x, то x > 18, то есть, возраст самого молодого человека, входящего в счастливую пару, строго больше 18 лет.
Покажем, что все пары (19, 20), (21, 22), (23, 24), ..., (93, 94) будут счастливыми. Легко проверить, что если x >= 10, то для чисел 2x-1 и 2x имеют место неравенства 2x-1 >= x + 9 и 2x >= (2x-1)/2 + 9. Всего счастливых пар будет 92/2 - 18/2 = 46 - 9 = 37.
При решении этих неравенств надо понимать, что графиком квадратичной функции является парабола. Ветвями вверх или вниз. Если хорошо понимать, как проходит парабола,легко поставить знаки квадратичной функции и потом ответить на вопрос задания.
а) х² - 6х +8 > 0
Корни 2 и 4
-∞ (2) (4) +∞
+ - + знаки квадратичной функции
решение неравенства
ответ: х∈(-∞;2)∪(5;+∞)
б) х² + 6х +8 < 0
корни -2 и -4
-∞ (-4) (-2) +∞
+ - + знаки квадратичной функции
решение неравенства
ответ: х∈(-4; -2)
в) -х² -2х +15 ≤ 0
корни -5 и 3
-∞ [-5] [3] +∞
- + - знаки квадратичной функции
решение неравенства
ответ: х∈ (-∞; -5]∪ [3; + ∞)
г) -5х² -11х -6 ≥ 0
корни -1 и -1,2
-∞ [-1,2] [-1] +∞
- + - знаки квадратичной функции
решение неравенства
ответ: х ∈ [-1,2; -1]
д) 9x² -12x +4 > 0
D = 0 корень один
х = 2/3
-∞ (-2/3) +∞
+ + знаки квадратичной функции
решение неравенства
ответ: х∈ (-∞; 2/3)∪ (2/3; +∞)
е) 4х² -12х +9 ≤ 0
D = 0, корень один х = 3/2
-∞ [3/2] +∞
+ + знаки квадратичной функции
∅