Расстояние : Весь путь поезда S = 63 км Часть пути под уклон S₁ = х км Горизонт. часть пути S₂ =S - S₁ = (63 - х) км
Скорость : Часть пути под уклон V₁ = 42 км/ч Горизонт. часть пути V₂ = 56 км/ч
Время Весь путь t = t₁+t₂ = 1 час 15 мин. = 1 ¹⁵/₆₀ ч. = 1 ¹/₄ ч. = 1,25 ч. Часть пути под уклон t₁ = S₁/V₁ = х/42 часов Горизонт. часть пути t₂ = S₂/V₂ = (63-x)/56 часов Уравнение : х/42 + (63-х )/56 = 1,25 х/42 + (63-х)/56 = 5/4 | * 168 4x + 3(63 - x) = 5 * 42 4x + 189 - 3x = 210 x + 189 = 210 x = 210 - 189 x = 21 (км) путь под уклон
Касательные , проведенные через точки P и M графика функции f(x)= (x-2) / (x-1) параллельны биссектрисам первого и третьего координатных углов. Найти координаты точек P и M .
Решение : Угловой коэффициент k₀ касательной к графику функции f(x) в точке x₀ : k₀ = f '(x₀) . --- f ' (x)= ( (x-2) / (x-1) ) ' = ( (x-2) ' *(x-1) - (x-2)*(x-1) ' ) / (x-1)² = ( 1*(x-1) - (x-2)*1) / (x-1)² = 1/(x-1)² . k₀ = f '(x₀) =1/(x₀-1)² . --- По условию задачи касательные графика функции параллельны биссектрисам первого и третьего координатных углов. Уравнение этих биссектрис y = x . * * * k =1 * * * Но линии параллельны , если k₀ = k . Следовательно 1/(x₀-1)² = 1 ⇔ (x₀-1)² =1 ⇔ x₀ -1 = ±1 ⇒ x₀ = 0 или x₀ =2. а) x₀ = 0 ⇒ f(x₀) = (0 -2)/(0-1) = 2 , допустим эта точка P(0 ;2) или б) x₀ =2 ⇒ f(x₀) = (2-2)/(2-1) = 0 , т.е. M(2 ; 0) .
ответ : P (0 ;2) , M (2; 0) . * * * или P (2 ;0) , M (0; 2) * * *
Весь путь поезда S = 63 км
Часть пути под уклон S₁ = х км
Горизонт. часть пути S₂ =S - S₁ = (63 - х) км
Скорость :
Часть пути под уклон V₁ = 42 км/ч
Горизонт. часть пути V₂ = 56 км/ч
Время
Весь путь t = t₁+t₂ = 1 час 15 мин. = 1 ¹⁵/₆₀ ч. = 1 ¹/₄ ч. = 1,25 ч.
Часть пути под уклон t₁ = S₁/V₁ = х/42 часов
Горизонт. часть пути t₂ = S₂/V₂ = (63-x)/56 часов
Уравнение :
х/42 + (63-х )/56 = 1,25
х/42 + (63-х)/56 = 5/4 | * 168
4x + 3(63 - x) = 5 * 42
4x + 189 - 3x = 210
x + 189 = 210
x = 210 - 189
x = 21 (км) путь под уклон
проверим:
21/42 + (63-21)/56 = 1/2 + 42/56 = 0,5 + 0,75 = 1,25 (ч.)
ответ : 21 км пути уложено под уклон.
Касательные , проведенные через точки P и M графика функции f(x)= (x-2) / (x-1) параллельны биссектрисам первого и третьего координатных углов. Найти координаты точек P и M .
Решение : Угловой коэффициент k₀ касательной к графику функции f(x) в точке x₀ : k₀ = f '(x₀) .
---
f ' (x)= ( (x-2) / (x-1) ) ' = ( (x-2) ' *(x-1) - (x-2)*(x-1) ' ) / (x-1)² =
( 1*(x-1) - (x-2)*1) / (x-1)² = 1/(x-1)² .
k₀ = f '(x₀) =1/(x₀-1)² .
---
По условию задачи касательные графика функции параллельны биссектрисам первого и третьего координатных углов.
Уравнение этих биссектрис y = x . * * * k =1 * * *
Но линии параллельны , если k₀ = k . Следовательно
1/(x₀-1)² = 1 ⇔ (x₀-1)² =1 ⇔ x₀ -1 = ±1 ⇒ x₀ = 0 или x₀ =2.
а) x₀ = 0 ⇒ f(x₀) = (0 -2)/(0-1) = 2 , допустим эта точка P(0 ;2)
или
б) x₀ =2 ⇒ f(x₀) = (2-2)/(2-1) = 0 , т.е. M(2 ; 0) .
ответ : P (0 ;2) , M (2; 0) . * * * или P (2 ;0) , M (0; 2) * * *
* * * f '(x)=( (x-2) / (x-1) ) ' =(1-1/(x-1) ) '=(1-(x-1)⁻¹) '=0+(x-1)⁻² =1/(x-1)² * *