А-8, К-«Квадратные уравнения», В-23.
1
0
. Решите уравнение:
а) 3х2
- х - 2 = 0;
б) 5y
2 = 4y;
в) х2
- 16 = 0;
г) х2
- 34х + 64 = 0.
2. Периметр прямоугольника равен 82 см, а его площадь 420 см2
. Найдите длины
сторон прямоугольника.
3. В уравнении х2
+ pх + 5 = 0 один из его корней равен 1. Найдите другой корень и
коэффициент решить
1а) Решим уравнение: 3х^2 - х - 2 = 0
Для начала, проверим, можно ли его факторизовать. Сложим и перемножим коэффициенты при х^2 и свободный член:
a = 3, b = -1, c = -2
ac = 3 * (-2) = -6
Мы видим, что сложение и умножение дает разные значения (-1 и -6). Поэтому факторизация не подходит. Применим квадратное уравнение:
x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)
x = (-(-1) ± √((-1)^2 - 4 * 3 * (-2))) / (2 * 3)
x = (1 ± √(1 + 24)) / 6
x = (1 ± √25) / 6
x = (1 ± 5) / 6
a) x = (1 + 5) / 6 = 6 / 6 = 1
б) x = (1 - 5) / 6 = -4 / 6 = -2/3
Ответ: а) 1; б) -2/3
1б) Решим уравнение: 5y^2 = 4y
Рассмотрим два случая: когда y = 0 и когда y ≠ 0.
1) Если y = 0, то уравнение превращается в 0 = 0 и имеет бесконечное количество решений.
2) Если y ≠ 0, то делим обе части уравнения на y:
5y^2 / y = 4y / y
5y = 4
y = 4 / 5
Ответ: а) y = 0 (бесконечное количество решений); б) y = 4 / 5
1в) Решим уравнение: x^2 - 16 = 0
Факторизуем разность квадратов:
(x - 4)(x + 4) = 0
Теперь решим уравнение, приравняв каждый множитель к нулю:
x - 4 = 0 или x + 4 = 0
x = 4 или x = -4
Ответ: а) x = 4; б) x = -4
1г) Решим уравнение: x^2 - 34x + 64 = 0
Применим квадратное уравнение:
x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)
x = (-(-34) ± √((-34)^2 - 4 * 1 * 64)) / (2 * 1)
x = (34 ± √(1156 - 256)) / 2
x = (34 ± √900) / 2
x = (34 ± 30) / 2
a) x = (34 + 30) / 2 = 64 / 2 = 32
б) x = (34 - 30) / 2 = 4 / 2 = 2
Ответ: а) x = 32; б) x = 2
2) Найдем длины сторон прямоугольника, зная его периметр и площадь.
Пусть a - длина, b - ширина прямоугольника.
Периметр прямоугольника равен 2a + 2b:
2a + 2b = 82
Площадь прямоугольника равна a * b:
a * b = 420
Мы получили систему уравнений:
2a + 2b = 82
a * b = 420
Решим ее методом подстановки. Выразим одну переменную через другую в первом уравнении и подставим это выражение во второе уравнение:
a = (82 - 2b) / 2
(82 - 2b) * b = 420
164b - 2b^2 = 420
2b^2 - 164b + 420 = 0
Разложим квадратный трехчлен на множители:
2b^2 - 164b + 420 = 2(b - 7)(b - 30) = 0
Теперь решим два уравнения:
1) b - 7 = 0
b = 7
a = (82 - 2 * 7) / 2 = 35
2) b - 30 = 0
b = 30
a = (82 - 2 * 30) / 2 = 11
Ответ: а) длина стороны - 35 см, ширина стороны - 7 см; б) длина стороны - 11 см, ширина стороны - 30 см
3) В уравнении х^2 + px + 5 = 0 один из его корней равен 1. Найдите другой корень и коэффициент p.
Мы знаем, что если один из корней равен 1, то сумма корней равна -p, а произведение корней равно 5. Подставим эти значения в соответствующие формулы:
1 + x2 = -p (1)
1 * x2 = 5 (2)
Из уравнения (1) получаем:
x2 = -p - 1
Подставим это значение в уравнение (2):
(-p - 1) * x2 = 5
-px2 - x2 = 5
rx2 = 5, где r = -p
Если x2 принимает значение 5, то r должен быть равен 1 (5 / 5 = 1). Таким образом, мы получили значение r = 1, то есть p = -1.
Теперь найдем другой корень:
x2 = -p - 1
x2 = -(-1) - 1
x2 = 1 - 1
x2 = 0
Ответ: другой корень равен 0, коэффициент p равен -1.