, a) Докажите что значение выражения п (п + 5) - (п - 3) (п + 2), при всех целых значениях п делится на 6
б) ( п-1) (п+1) - (п-7) (п-5) при всех значениях п делится на 24

1.

(х-2)(х-3)(х-4)=(х-3)(х-4)(х-5)переносим в одну сторону

(х-2)(х-3)(х-4)-(х-3)(х-4)(х-5) =0выносим за скобки одинаковые множители

(х-3)(х-4)((х-2) - (х-5)) =0Чтобы получить произведение равное нулю, хотя бы один из множителей должен быть равен 0

получает три уравнения

(х-3) = 0          и   (х-4) =0         и ((х-2) -(х-5)) = 0

х = 3                     х= 4                   х -2 -х+5 = 0

                                                                   3 = 0 не имеет смысла

ответ х = 3, х=4

2.

переносим все влево от знака равно и меняем знак на противоположный у того, что переносим:

(х-2)(х-3)(х-4) - (х-3)(х-4)(х-5) = 0

2. Выносим за скобки общие множители:

(х-3)(х-4)((х-2)-(х-5))=0

3. раскрываем скобки, т.к. перед х-5 стоит знак минус, меняем занки на противоположные:

(х-3)(х-4)(х-2-х+5)=0

4, упростим выражение в скобке:

х-х-2+5=3

5. вернемся к уравнению

(х-3)(х-4)*3=0

оно равно нулю, когда одна из скобок равна нулю. Значит нужно решить два уравнения:

х-3=0 и х-4=0

х=3 и х=4

ответ. х=3; 4

а) 3 прямые имеют наибольшее число точек пересечения 3 ,

б) 4 прямые - 6 точек пересечения ,

в) 5 прямых - 10 точек пересечения ,

г) n прямых - \frac{n(n-1)}{2}

2

n(n−1)

точек пересечения .

Решение. Заметим, что наибольшее число точек попарных пересечений получается, если каждая прямая пересекается с каждой и при этом никакие три прямые не пересекаются в одной точке. В этом случае количество точек попарных пересечений равно количеству пар прямых из данного множества n прямых. Как мы знаем, это число равно \frac{n(n-1)}{2}

2

n(n−1)