1) f(x) = x + (4 / x). Для построения графика нужен расчет точек графика: х -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 у=х+(4/х) -5 -4.333 -4 -5 5 4 4.3333 5 Область определения функции.Точки, в которых функция точно неопределена:x1 = 0. Точки пересечения с осью координат X. График функции пересекает ось X при f = 0, значит надо решить уравнение: 4 x + - = 0 x Решения не найдено, график не пересекает ось X. Точки пересечения с осью координат Y. График пересекает ось Y, когда x равняется 0:подставляем x = 0 в x + 4/x.4 - 0. Результат:f(0) = zooзн. f(x) не пересекает . Экстремумы функции. Для того, чтобы найти экстремумы,нужно решить уравнениеd --(f(x)) = 0 dx (производная равна нулю),и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:d --(f(x)) = dx 4 1 - -- = 0 2 x Решаем это уравнение. Корни этого ур-ния x1 = -2, x2 = 2Значит, экстремумы в точках:(-2, -4)(2, 4) Интервалы возрастания и убывания функции:Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:Минимумы функции в точках:x2 = 2Максимумы функции в точках:x2 = -2Убывает на промежутках(-oo, -2] U [2, oo)Возрастает на промежутках[-2, 2] Точки перегибов Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение 2 d ---(f(x)) = 0 2 dx (вторая производная равняется нулю),корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции, 2 d ---(f(x)) = 2 dx 8 -- = 0 3 x Решаем это уравнение Решения не найдены, перегибов у функции нет Вертикальные асимптоты Есть:x1 = 0 Горизонтальные асимптоты Горизонтальные асимптоты найдём с пределов данной функции при x->+oo и x->-oo 4 lim x + - = -oo x->-oo x значит,горизонтальной асимптоты слева не существует 4 lim x + - = oo x->oo x значит,горизонтальной асимптоты справа не существует Наклонные асимптоты Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x + 4/x, делённой на x при x->+oo и x->-oo 4 x + - x lim = 1 x->-oo x значит,уравнение наклонной асимптоты слева:y = x, 4 x + - x lim = 1 x->oo x значит,уравнение наклонной асимптоты справа:y = x. Чётность и нечётность функции Проверим функцию чётна или нечётна с соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).Итак, проверяем: 4 4 x + -- = -x - -- 1 1 x x - Нет 4 -4 x + -- = --x - --- 1 1 x x - Да, значит, функция является нечётной. 2) Эта функция исследуется аналогично.
2a²-a - 2a²+a + 1 = 2a²-a - 2a²+a + 1 =
a²-a+0.25 a²+a+0.25 a²-0.25 (a-0.5)² (a+0.5)² (a-0.5)(a+0.5)
Общий знаменатель:(а-0,5)²(а+0,5)²
=(2а²-а)(а+0,5)²-(2а²+а)(а-0,5)²+(а-0,5)(а+0,5) =
(а-0,5)²(а+0,5)²
=(2а²-а)(а²+а+0,25)-(2а²+а)(а²-а+0,25)+а²-0,25 =
(а-0,5)²(а+0,5)²
=2а⁴+2а³+0,5а²-а³-а²-0,25а-2а⁴+2а³-0,5а²-а³+а²-0,25а+а²-0,25 =
(а-0,5)²(а+0,5)²
=2а³+а²-0,5а-0,25 =(2а³+а²)-(0,5а+0,25) =2а²(а+0,5)-0,5(а+0,5) =
(а-0,5)²(а+0,5)² (а-0,5)²(а+0,5)² (а-0,5)²(а+0,5²)
=(а+0,5)(2а²-0,5)= 2а²-0,5 = 2(а²-0,25) =
(а-0,5)²(а+0,5)² (а-0,5)²(а+0,5) (а-0,5)²(а+0,5)
= 2(а-0,5)(а+0,5) = 2
(а-0,5)²(а+0,5) а-0,5
Для построения графика нужен расчет точек графика:
х -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
у=х+(4/х) -5 -4.333 -4 -5 5 4 4.3333 5
Область определения функции.Точки, в которых функция точно неопределена:x1 = 0. Точки пересечения с осью координат X. График функции пересекает ось X при f = 0, значит надо решить уравнение: 4 x + - = 0 x Решения не найдено, график не пересекает ось X. Точки пересечения с осью координат Y. График пересекает ось Y, когда x равняется 0:подставляем x = 0 в x + 4/x.4 - 0. Результат:f(0) = zooзн. f(x) не пересекает .
Экстремумы функции. Для того, чтобы найти экстремумы,нужно решить уравнениеd --(f(x)) = 0 dx (производная равна нулю),и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:d --(f(x)) = dx 4 1 - -- = 0 2 x Решаем это уравнение. Корни этого ур-ния x1 = -2, x2 = 2Значит, экстремумы в точках:(-2, -4)(2, 4)
Интервалы возрастания и убывания функции:Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:Минимумы функции в точках:x2 = 2Максимумы функции в точках:x2 = -2Убывает на промежутках(-oo, -2] U [2, oo)Возрастает на промежутках[-2, 2] Точки перегибов Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение 2 d ---(f(x)) = 0 2 dx (вторая производная равняется нулю),корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции, 2 d ---(f(x)) = 2 dx 8 -- = 0 3 x Решаем это уравнение Решения не найдены, перегибов у функции нет Вертикальные асимптоты Есть:x1 = 0 Горизонтальные асимптоты Горизонтальные асимптоты найдём с пределов данной функции при x->+oo и x->-oo 4 lim x + - = -oo x->-oo x значит,горизонтальной асимптоты слева не существует 4 lim x + - = oo x->oo x значит,горизонтальной асимптоты справа не существует Наклонные асимптоты Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x + 4/x, делённой на x при x->+oo и x->-oo 4 x + - x lim = 1 x->-oo x значит,уравнение наклонной асимптоты слева:y = x, 4 x + - x lim = 1 x->oo x значит,уравнение наклонной асимптоты справа:y = x. Чётность и нечётность функции Проверим функцию чётна или нечётна с соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).Итак, проверяем: 4 4 x + -- = -x - -- 1 1 x x - Нет 4 -4 x + -- = --x - --- 1 1 x x - Да, значит, функция является нечётной.
2) Эта функция исследуется аналогично.