Характеристическое уравнение r²-8r+16=0; r1=r2=4. Общее решение однородного уравнения: Y=(C1 +C2•х) •e^4x Общее решение – y=Y+Y1, где Y1 - частное решение заданного уравнения, которое ищется в виде Y1=ax²•e^4x. => Y1’= 2ax•e^4x+4ax²•e^4x=2e^4x•(ax+2ax²); Y1”=8e^4x•(ax+2ax²)+2e^4x•(a+4ax)= e^4x•(16ax²+8ax+8ax+2a) Тогда 16ax²+16ax+2a-16ax-32ax²+16 ax²=1 2a=1 =:> a=1/2 или Y1=(x²•e^4x)/2
Тогда общее решение заданного уравнения: у=(C1 +C2•х) •e^4x+(x²•e^4x)/2=(e^4x)•( C1 +C2•х+x²/2) Находим У’ и, подставляя заданные начальные условия, находим С1 и С2 для этих условий. у'=4•(e^4x)•( C1 +C2•х+x²/2)+ (e^4x)•(C2+x) y(0)=C1=0; y’(0)=4C1+C2=1 => C2=1. Подставляя найденные значения С1 и С2 в общее решение получаем искомое частное решение заданного уравнения у= (e^4x)•(х+x²/2). пыталась как можно проще написать примерно так
Общее решение однородного уравнения: Y=(C1 +C2•х) •e^4x
Общее решение – y=Y+Y1, где Y1 - частное решение заданного уравнения, которое ищется в виде Y1=ax²•e^4x. => Y1’= 2ax•e^4x+4ax²•e^4x=2e^4x•(ax+2ax²);
Y1”=8e^4x•(ax+2ax²)+2e^4x•(a+4ax)= e^4x•(16ax²+8ax+8ax+2a)
Тогда
16ax²+16ax+2a-16ax-32ax²+16 ax²=1
2a=1 =:> a=1/2 или Y1=(x²•e^4x)/2
Тогда общее решение заданного уравнения:
у=(C1 +C2•х) •e^4x+(x²•e^4x)/2=(e^4x)•( C1 +C2•х+x²/2)
Находим У’ и, подставляя заданные начальные условия, находим С1 и С2 для этих условий.
у'=4•(e^4x)•( C1 +C2•х+x²/2)+ (e^4x)•(C2+x)
y(0)=C1=0;
y’(0)=4C1+C2=1 => C2=1.
Подставляя найденные значения С1 и С2 в общее решение получаем искомое частное решение заданного уравнения
у= (e^4x)•(х+x²/2). пыталась как можно проще написать примерно так
Сначала решим общее однородное уравнение:
y''-4y'+3y=0
Для этого составим характеристическое уравнение:
Находим корни, получаем:
Тогда общее решение однородного уравнения запишется как:
Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения.
Попробуем подобрать его, вообще тут видно, что частное решение этого уравнения будет
Если такой вариант нахождения частного решения не подходит, то можно решать все долго и по формулам:
для этого воспользуемся методом вариации постоянной, дл это представим C1 и С2 как функции от х и решим все по формуле:
Разделим первое и второе уравнениея на
, выразим из 1го уравнения 
получим 
Теперь подставим это во второе уравнение и получим, после всех сокращений:
Подставляем найденные C1 и C2 и получаем:
Частное решение в виде:
Теперь найдем общее решение:
Y(x)=общее решение однородного уравнения+частное решение неоднородного уравнения
Я думаю что стоить взять частное решение которое было получено подбором, потому что оно проще, да и я мог где нибудь ошибиться в расчетах, поэтому:
Теперь решаем задачу Коши:
Она заключается в нахождении C1 и C2
Все просто, подставим в решение (1) вместо x число 0, а вместо y число 2 (это соответсвует y(0)=2)
Теперь возьмем производную и подставим в нее вместо x ноль, а вместо y -1
Получили систему уравнение:
Отсюда C2=0, C1=5.
Теперь запишем ответ:
ОТВЕТ: