Алгебра 10 класс. Тема: Доказательство с производной заданной функции.

Task/25555840
-----------------
X^2/y +y^2/x=3 ;x+y=2 решите систему
-----------------------------
{ x²/y +y²/x = 3 ; x+y =2 .⇔{ (x³ +y³)/xy =3 ; x+y =2 . ⇔
{ ( (x+y)³ -3xy(x+y) ) /xy =3 ; x+y =2.  ⇔{ ( 2³ -3xy*2 )/xy =3 ; x+y =2. ⇔
{ xy =8 /9 ; x+y =2.  
* * *x и y корни уравнения t²-2t +8/9 =0 →обратная теорема Виета * * *  
дальше  "традиционно" : 
{ xy =8 /9 ; y =2 -x.   
x(2-x) =8/9 ;    
2x -x² =8/9 ;
x² -2x +8/9 =0        ! * * *  t² -2t +8/9 =0  * * *
x₁ ₂ = 1±√(1 -8/9) ;
x₁ ₂ = 1 ±√(1/9)  ;
x₁ ₂ = 1 ±1/3  ;

x₁= 1 -1/3 =2/3  ⇒  y₁ =2 -x₁ = 2 -2/3 =4/3 ;
x₂ = 1+1/3 =4/3 ⇒  y₂ =2 - x₂ = 2 -4/3 =2/3.
* * * уравнения системы  симметричные  * * *

ответ: (2/3 ; 4/3) , (4/3 , 2/3) .  
--------------
Удачи !

Дано:

а₁+а₃+...+а₂₁ = а₂+а₄+...+а₂₀+15.

Найти а₁₁

Решение

1) Всего в арифметической прогрессии 21 член.

Теперь каждый из них выразим через первый член а₁ и знаменатель прогрессии d.

а₂=a₁+d

а₃=a₁+2d

а₄=a₁+3d

а₆=a₁+5d

а₁₁=a₁+10d

a₂₀=a₁+19d

а₂₁=a₁+20d

2) Левая часть данного равенства представлена суммой 11-ти нечетных членов прогрессии. Найдем её.

а₁+а₃+...+а₂₁ = а₁+(a₁+2d)+...+(а₁+20d) =(a₁+a₁+20d)*11/2 = 11*(a₁+10d)

3) Правая часть данного равенства представлена суммой 10-ти четных членов прогрессии и числа 15. Найдем её.

а₂+а₄+...+а₂₀+15 = (a₁+d+a₁+19d)*10/2 + 15 = 10*(a₁+10d)+15

4) Теперь данное равенство имеет вид:

11*(a₁+10d) = 10*(a₁+10d)+15

Проведем преобразования, приведем подобные члены и получим:

11a₁+110d = 10a₁+100d+15

(11a₁ - 10a₁) + (110d - 100d) = 15

a₁+ 10d = 15

a₁₁=15

ответ: а₁₁ = 15