Алгебра 29.04.20, до 30.04.20 до 19-00.
Мария Ивановна, высококлассный преподаватель английского языка, занимается
репетиторством со школьниками и студентами. Стоимость одного часа (60 мин) урока
Марии Ивановны – 2 тыс. рублей (после вычета всех налогов). Помимо доходов от
репетиторства у нее есть постоянный доход от инвестиционной деятельности, который
составляет 30 тыс. рублей в месяц. Выходные дни Мария Ивановна полностью посвящает
семье и не работает. Мария Ивановна очень дисциплинированная и строго следит за
распределением своего времени и доходов. В рабочие дни, которых в каждом месяце ровно
20, девять часов в сутки она спит, некоторое время работает, часть времени посвящает
своему хобби – вязанию, а остальное время тратит на отдых и домашние дела. Занятие
хобби она считает важной составляющей своей жизни, поэтому если в день она работает
часов, то на вязание обязательно потратит 2 часов. Вязанные вещи она не продает, а дарит
друзьям, знакомым и отдает нуждающимся. Помимо этого, Мария Ивановна является
активным благотворителем и перечисляет деньги в фонд больным детям. Каждый
рабочий день она откладывает на благотворительность ровно /3 тыс. рублей, если в этот
день на отдых и домашние дела она потратила всего часов. На все бытовые расходы,
хобби и ведение домашнего хозяйства (кроме расходов на благотворительность) Мария
Ивановна тратит 60 тыс. рублей в месяц, других расходов у нее нет. Конечно, Мария
Ивановна очень любит отдыхать и заниматься домашними делами, но ей приходится
работать, и каждый рабочий день она сама решает, сколько уроков с учениками ей сегодня
проводить.
(а) Какую максимальную сумму денег может ежемесячно перечислять Мария Ивановна на
благотворительность?
1) Найди дискриминант квадратного уравнения 8x²+4x+12=0.
D = b² - 4ac = 16 - 4·8·12 = 16 - 384 = -368.
2) Найди корни квадратного уравнения x²+7x+12=0.
По т., обратной к т. Виетта, имеем х₁ = -4; x₂ = -3.
3) Реши квадратное уравнение 2(5x−15)²−7(5x−15)+6=0.
Рациональным будет метод введения новой переменной.
Пусть 5x−15 = t, тогда имеем:
2t²−7t+6=0; D = b² - 4ac = 49 - 4·2·6 = 49 - 48 = 1; √D = 1
t₁ = (7 + 1)/4 = 2; t₂ = (7 - 1)/4 = 1,5.
Возвращаемся к замене:
5x−15 =2; 5x = 2 + 15; 5x = 17; x = 17/5; x₁ = 3,4.
5x−15 = 1,5; 5x = 1,5 + 15; 5x = 16,5; x = 16,5/5; x₂ = 3,3.
ответ: 3,4; 3,3.
4)Найди корни уравнения −8,9(x−2,1)(x−31)=0.
x−2,1 = 0 или x−31 = 0.
х₁ = 2,1 х₂ = 31.
ответ: 2,1; 31.
5) Сократи дробь (x−4)²/(x²+2x−24) = (x−4)²/((x + 6)(x − 4)) = (х - 4)/(х + 6).
Полученная дробь: (х - 4)/(х + 6).
6)Сократи дробь (5x²−32x+12)/(x³−216).
5x²−32x+12 = 0; D = b² - 4ac = 1024 - 480 = 784; √D = 28.
x₁ = (32 + 28)/10 = 6; x₂ = (32 - 28)/10 = 0,4
Имеем: (5x²−32x+12)/(x³−216) = ((x - 6)(5x - 2))/((x - 6)(x² + 6x + 36)) =
= (5x - 2)/(x² + 6x + 36).
7) Разложи на множители квадратный трехчлен x² + 8x + 15.
x² + 8x + 15 = 0; x₁ = -3; x₂ = -5.
имеем, x² + 8x + 15 = (x + 3)(x + 5).