Построй график данной функции. При него найди интервалы возрастания и убывания, экстремумы (т. е. максимумы и минимумы) функции, наибольшее и наименьшее значения функции, интервалы знакопостоянства функции, чётность, нули функции и точки пересечения с осями x и y.
1. Интервал возрастания функции:
x∈[−3;2]
x∈(−3;2)
x∈(−2;2)
Интервал убывания функции:
x∈(−6;−3)
x∈[−6;−3)
x∈(−6;−4)
x∈[−6;−3]
2. Экстремум функции
(в соответствующее окно вводи целое число — положительное или отрицательное):
f(
) =
.
Это
минимум функции
максимум функции
3. Наибольшее и наименьшее значения функции (в соответствующее окно вводи целое число — положительное или отрицательное):
Для построения графика функции, сначала нужно найти точки пересечения функции с осями x и y, а также нули функции. Далее, определим интервалы возрастания и убывания функции, экстремумы (максимумы и минимумы), интервалы знакопостоянства функции, и ее четность. Прежде всего, рассмотрим каждый шаг подробно.
Шаг 1: Найдем точки пересечения функции с осями x и y.
Точка пересечения с осью y (ось ординат) будет иметь координаты (0, f(0)). Чтобы найти это значение, подставим x=0 в уравнение функции:
f(0) = 0^2 + 6*0 + 8 = 0 + 0 + 8 = 8
Таким образом, точка пересечения с осью y это (0, 8).
Для нахождения точек пересечения функции с осью x (ось абсцисс), нужно приравнять функцию f(x) к нулю и решить уравнение.
При x в диапазоне [-6;-1]:
x^2 + 6x + 8 = 0
Это уравнение является квадратным уравнением, поэтому используем формулу дискриминанта для нахождения корней:
D = b^2 - 4ac
где a = 1, b = 6, c = 8
D = 6^2 - 4 * (1) * (8) = 36 - 32 = 4
Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два различных корня.
Таким образом, в интервале [-6;-1] функция пересекает ось x в точках (-2, 0) и (-4, 0).
При x в диапазоне (-1;2]:
x + 2 - √x + 2 = 0
Это уравнение нелинейное, поэтому решение можно представить графически или использовать численные методы для приближенного нахождения корней. Мы можем использовать метод половинного деления для приближенного нахождения корня.
Таким образом, в интервале (-1;2] функция пересекает ось x приблизительно в точке (-0.5, 0).
Таким образом, точки пересечения с осями x и y: (-2, 0), (-4, 0), и (0, 8).
Шаг 2: Интервалы возрастания и убывания функции.
Чтобы найти интервалы возрастания и убывания, необходимо проанализировать знак производной функции. Функция возрастает в тех точках, где производная положительна, и убывает в тех точках, где производная отрицательна. Вычислим производную функции f'(x):
При x в диапазоне [-6;-1]:
f'(x) = 2x + 6
Для определения знаков производной и интервалов возрастания/убывания функции, мы должны рассмотреть три интервала: (-∞;-6), (-6;-1), и (-1;+∞).
При x < -6: Возьмем х=-7: f'(-7) = 2(-7) + 6 = -14 + 6 = -8 < 0. Это означает, что функция убывает на интервале (-∞;-6).
При -6 < x < -1: Возьмем х=-4: f'(-4) = 2(-4) + 6 = -8 + 6 = -2 < 0. Это также означает, что функция убывает на интервале (-6;-1).
При x > -1: Возьмем х=0: f'(0) = 2(0) + 6 = 6 > 0. Это означает, что функция возрастает на интервале (-1;+∞).
Итак, интервалы возрастания и убывания функции:
- Убывание: x∈(-∞;-1) и (-6;-1)
- Возрастание: x∈(-1;+∞)
Шаг 3: Экстремумы функции.
Экстремумы функции соответствуют точкам, в которых производная функции обращается в ноль или не существует. Для нахождения экстремумов, решим уравнение f'(x) = 0.
При x в диапазоне [-6;-1]:
2x + 6 = 0
2x = -6
x = -3
Таким образом, экстремум функции достигается в точке (-3, f(-3)).
Шаг 4: Наибольшее и наименьшее значения функции.
Наименьшее значение функции будет в точке экстремума, а наибольшее значение функции может быть в точке пересечения с осью y или в любой другой точке, где функция возрастает бесконечно или убывает бесконечно.
Наибольшее значение функции может быть в неограниченно большой точке или на бесконечности.
Таким образом:
а) Наибольшее значение функции: бесконечность (∞)
б) Наименьшее значение функции: -1
Шаг 5: Интервалы знакопостоянства функции.
Для определения интервалов знакопостоянства функции, анализируем знак самой функции в разных интервалах.
При x в диапазоне [-6;-1]:
f(x) = x^2 + 6x + 8
Для определения знака функции на каждом интервале, необходимо взять случайное значение x внутри каждого интервала и подставить его в уравнение функции.
При x < -6: Возьмем x=-7: f(-7) = (-7)^2 + 6(-7) + 8 = 49 - 42 + 8 = 15 > 0. То есть, функция положительна на этом интервале.
При -6 < x < -1: Возьмем x=-4: f(-4) = (-4)^2 + 6(-4) + 8 = 16 - 24 + 8 = 0. То есть, функция равна нулю на этом интервале.
При x > -1: Возьмем x=0: f(0) = 0^2 + 6(0) + 8 = 0 + 0 + 8 = 8 > 0. То есть, функция положительна на этом интервале.
Итак, интервалы знакопостоянства функции:
а) функция положительна, если x∈(-∞;-1)∪(-6;-1)
б) функция отрицательна, если x∈(-1;-6)
Шаг 6: Четность функции.
Функция f(x) четная, если при замене x на -x значение функции не меняется. Проверим это, заменив x на -x в уравнении функции:
f(-x) = (-x)^2 + 6(-x) + 8 = x^2 - 6x + 8
Данная функция не равна f(x), поэтому она не является четной.
Итак, ответы на вопрос:
1. Интервал возрастания функции:
Ответ: x∈(-1;+∞)
2. Интервал убывания функции:
Ответ: x∈(-∞;-1) и (-6;-1)
3. Экстремум функции:
Ответ: f(-3) = -1. Это минимум функции.
4. Наибольшее и наименьшее значения функции:
Ответ: а) Наибольшее значение функции: бесконечность (∞)
б) Наименьшее значение функции: -1
5. Интервалы знакопостоянства функции:
Ответ: а) функция положительна, если x∈(-∞;-1)∪(-6;-1)
б) функция отрицательна, если x∈(-1;-6)
6. Четность функции:
Ответ: Функция f(x) не является четной.
![Алгебра Дано: f(x)={x2+6x+8,если x∈[−6;−1]x+2−−−−√+2,если x∈(−1;2]Построй график данной функции. При](/tpl/images/3926/1394/fb669.jpg)
![Алгебра Дано: f(x)={x2+6x+8,если x∈[−6;−1]x+2−−−−√+2,если x∈(−1;2]Построй график данной функции. При](/tpl/images/3926/1394/ef45d.jpg)
Шаг 1: Найдем точки пересечения функции с осями x и y.
Точка пересечения с осью y (ось ординат) будет иметь координаты (0, f(0)). Чтобы найти это значение, подставим x=0 в уравнение функции:
f(0) = 0^2 + 6*0 + 8 = 0 + 0 + 8 = 8
Таким образом, точка пересечения с осью y это (0, 8).
Для нахождения точек пересечения функции с осью x (ось абсцисс), нужно приравнять функцию f(x) к нулю и решить уравнение.
При x в диапазоне [-6;-1]:
x^2 + 6x + 8 = 0
Это уравнение является квадратным уравнением, поэтому используем формулу дискриминанта для нахождения корней:
D = b^2 - 4ac
где a = 1, b = 6, c = 8
D = 6^2 - 4 * (1) * (8) = 36 - 32 = 4
Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два различных корня.
x1 = (-b + √D) / 2a = (-6 + √4) / 2 = (-6 + 2) / 2 = -4 / 2 = -2
x2 = (-b - √D) / 2a = (-6 - √4) / 2 = (-6 - 2) / 2 = -8 / 2 = -4
Таким образом, в интервале [-6;-1] функция пересекает ось x в точках (-2, 0) и (-4, 0).
При x в диапазоне (-1;2]:
x + 2 - √x + 2 = 0
Это уравнение нелинейное, поэтому решение можно представить графически или использовать численные методы для приближенного нахождения корней. Мы можем использовать метод половинного деления для приближенного нахождения корня.
x = -1.5, f(-1.5) = (-1.5) + 2 - √(-1.5) + 2 ≈ -1.809
x = -0.5, f(-0.5) = (-0.5) + 2 - √(-0.5) + 2 ≈ 1.191
Таким образом, в интервале (-1;2] функция пересекает ось x приблизительно в точке (-0.5, 0).
Таким образом, точки пересечения с осями x и y: (-2, 0), (-4, 0), и (0, 8).
Шаг 2: Интервалы возрастания и убывания функции.
Чтобы найти интервалы возрастания и убывания, необходимо проанализировать знак производной функции. Функция возрастает в тех точках, где производная положительна, и убывает в тех точках, где производная отрицательна. Вычислим производную функции f'(x):
При x в диапазоне [-6;-1]:
f'(x) = 2x + 6
Для определения знаков производной и интервалов возрастания/убывания функции, мы должны рассмотреть три интервала: (-∞;-6), (-6;-1), и (-1;+∞).
При x < -6: Возьмем х=-7: f'(-7) = 2(-7) + 6 = -14 + 6 = -8 < 0. Это означает, что функция убывает на интервале (-∞;-6).
При -6 < x < -1: Возьмем х=-4: f'(-4) = 2(-4) + 6 = -8 + 6 = -2 < 0. Это также означает, что функция убывает на интервале (-6;-1).
При x > -1: Возьмем х=0: f'(0) = 2(0) + 6 = 6 > 0. Это означает, что функция возрастает на интервале (-1;+∞).
Итак, интервалы возрастания и убывания функции:
- Убывание: x∈(-∞;-1) и (-6;-1)
- Возрастание: x∈(-1;+∞)
Шаг 3: Экстремумы функции.
Экстремумы функции соответствуют точкам, в которых производная функции обращается в ноль или не существует. Для нахождения экстремумов, решим уравнение f'(x) = 0.
При x в диапазоне [-6;-1]:
2x + 6 = 0
2x = -6
x = -3
Таким образом, экстремум функции достигается в точке (-3, f(-3)).
Шаг 4: Наибольшее и наименьшее значения функции.
Наименьшее значение функции будет в точке экстремума, а наибольшее значение функции может быть в точке пересечения с осью y или в любой другой точке, где функция возрастает бесконечно или убывает бесконечно.
Наименьшее значение функции: f(-3) = (-3)^2 + 6(-3) + 8 = 9 - 18 + 8 = -1
Наибольшее значение функции может быть в неограниченно большой точке или на бесконечности.
Таким образом:
а) Наибольшее значение функции: бесконечность (∞)
б) Наименьшее значение функции: -1
Шаг 5: Интервалы знакопостоянства функции.
Для определения интервалов знакопостоянства функции, анализируем знак самой функции в разных интервалах.
При x в диапазоне [-6;-1]:
f(x) = x^2 + 6x + 8
Для определения знака функции на каждом интервале, необходимо взять случайное значение x внутри каждого интервала и подставить его в уравнение функции.
При x < -6: Возьмем x=-7: f(-7) = (-7)^2 + 6(-7) + 8 = 49 - 42 + 8 = 15 > 0. То есть, функция положительна на этом интервале.
При -6 < x < -1: Возьмем x=-4: f(-4) = (-4)^2 + 6(-4) + 8 = 16 - 24 + 8 = 0. То есть, функция равна нулю на этом интервале.
При x > -1: Возьмем x=0: f(0) = 0^2 + 6(0) + 8 = 0 + 0 + 8 = 8 > 0. То есть, функция положительна на этом интервале.
Итак, интервалы знакопостоянства функции:
а) функция положительна, если x∈(-∞;-1)∪(-6;-1)
б) функция отрицательна, если x∈(-1;-6)
Шаг 6: Четность функции.
Функция f(x) четная, если при замене x на -x значение функции не меняется. Проверим это, заменив x на -x в уравнении функции:
f(-x) = (-x)^2 + 6(-x) + 8 = x^2 - 6x + 8
Данная функция не равна f(x), поэтому она не является четной.
Итак, ответы на вопрос:
1. Интервал возрастания функции:
Ответ: x∈(-1;+∞)
2. Интервал убывания функции:
Ответ: x∈(-∞;-1) и (-6;-1)
3. Экстремум функции:
Ответ: f(-3) = -1. Это минимум функции.
4. Наибольшее и наименьшее значения функции:
Ответ: а) Наибольшее значение функции: бесконечность (∞)
б) Наименьшее значение функции: -1
5. Интервалы знакопостоянства функции:
Ответ: а) функция положительна, если x∈(-∞;-1)∪(-6;-1)
б) функция отрицательна, если x∈(-1;-6)
6. Четность функции:
Ответ: Функция f(x) не является четной.