Для построения графика функции y=25−x2, мы должны сначала найти координаты вершины параболы.
а) Координаты вершины параболы можно найти с помощью формулы: x = -b/(2a), где a и b - коэффициенты при x в уравнении параболы y=ax2+bx+c. В данной функции у нас a=-1 и b=0 (коэффициент при x равен 0). Подставим значения в формулу:
x = -0/(2*(-1)) = 0
Таким образом, координата x вершины параболы равна 0. Чтобы найти координату y вершины параболы, подставим найденное значение x в уравнение функции:
y = 25 - (0)^2 = 25 - 0 = 25
Координаты вершины параболы равны (0,25).
б) Чтобы найти значения аргумента, при которых значения функции положительны, нужно решить неравенство y > 0. Подставим уравнение функции в неравенство и решим его:
25 - x^2 > 0
x^2 < 25
Теперь возьмем квадратный корень от обеих частей:
|x| < 5
Это означает, что значения аргумента, при которых значения функции положительны, лежат в интервале (-5, 5).
в) Для определения того, при каких значениях аргумента функция возрастает, нужно найти интервалы, где производная функции положительна. В данном случае, функция y=25−x2 является параболой, симметричной относительно вертикальной оси. Значит, она возрастает на интервале от минус бесконечности до значения x=0.
Интервал значений аргумента, при которых функция возрастает, это (-∞, 0].
г) Для определения того, при каких значениях аргумента функция убывает, нужно найти интервалы, где производная функции отрицательна. В данном случае, функция y=25−x2 является параболой, симметричной относительно вертикальной оси. Значит, она убывает на интервале от значения x=0 до плюс бесконечности.
Интервал значений аргумента, при которых функция убывает, это [0, +∞).
Таким образом, ответы на вопросы:
а) Координаты вершины параболы: (0,25)
б) При каких значениях аргумента значения функции положительны: (-5, 5)
в) При каких значениях аргумента функция возрастает: (-∞, 0]
г) При каких значениях аргумента функция убывает: [0, +∞)
Для того, чтобы определить, при каких значениях x имеет смысл выражение log3 корень (x-4), нужно рассмотреть ограничения, которые накладываются на аргумент логарифма и выражение под корнем.
Аргумент логарифма:
Аргумент логарифма должен быть положительным, так как логарифм отрицательного или нулевого числа не имеет смысла в рамках действительных чисел.
Таким образом, необходимо найти условия, при которых (x-4) > 0.
Выражение под корнем:
Выражение под корнем должно быть неотрицательным, так как не определенно извлечение корня из отрицательного числа в рамках действительных чисел.
Таким образом, нужно найти условия, при которых x - 4 ≥ 0.
Объединение ограничений:
Для того, чтобы выражение log3 корень (x-4) имело смысл, должны выполняться оба ограничения одновременно.
(x-4) > 0 и x - 4 ≥ 0.
Ограничение (x-4) > 0 говорит нам, что x должно быть больше 4.
Ограничение x - 4 ≥ 0 говорит нам, что x должно быть больше или равно 4.
Таким образом, условие для того, чтобы выражение log3 корень (x-4) имело смысл: x > 4.
Получается, что x должно быть больше 4, тогда выражение log3 корень (x-4) будет иметь смысл.
Обоснование:
Выражение log3 корень (x-4) означает логарифм по основанию 3 из корня из (x-4). Логарифм представляет собой функцию обратную экспоненте. Основание логарифма определяет, во сколько раз нужно возвести это основание в степень, чтобы получить число, скрывающееся под логарифмом. В данном случае, основание равно 3, то есть мы хотим найти, во сколько раз нужно возвести 3 в степень, чтобы получить корень из (x-4).
Значение под корнем (x-4) должно быть положительным, так как отрицательное число не имеет корня в рамках действительных чисел. То есть (x-4) > 0.
Поэтому, нужно, чтобы x > 4, чтобы выражение log3 корень (x-4) имело смысл.
В пошаговом решении мы сначала находим ограничения на аргументы логарифма и выражения под корнем. Затем объединяем эти ограничения, чтобы получить окончательное условие, при котором выражение имеет смысл.
а) Координаты вершины параболы можно найти с помощью формулы: x = -b/(2a), где a и b - коэффициенты при x в уравнении параболы y=ax2+bx+c. В данной функции у нас a=-1 и b=0 (коэффициент при x равен 0). Подставим значения в формулу:
x = -0/(2*(-1)) = 0
Таким образом, координата x вершины параболы равна 0. Чтобы найти координату y вершины параболы, подставим найденное значение x в уравнение функции:
y = 25 - (0)^2 = 25 - 0 = 25
Координаты вершины параболы равны (0,25).
б) Чтобы найти значения аргумента, при которых значения функции положительны, нужно решить неравенство y > 0. Подставим уравнение функции в неравенство и решим его:
25 - x^2 > 0
x^2 < 25
Теперь возьмем квадратный корень от обеих частей:
|x| < 5
Это означает, что значения аргумента, при которых значения функции положительны, лежат в интервале (-5, 5).
в) Для определения того, при каких значениях аргумента функция возрастает, нужно найти интервалы, где производная функции положительна. В данном случае, функция y=25−x2 является параболой, симметричной относительно вертикальной оси. Значит, она возрастает на интервале от минус бесконечности до значения x=0.
Интервал значений аргумента, при которых функция возрастает, это (-∞, 0].
г) Для определения того, при каких значениях аргумента функция убывает, нужно найти интервалы, где производная функции отрицательна. В данном случае, функция y=25−x2 является параболой, симметричной относительно вертикальной оси. Значит, она убывает на интервале от значения x=0 до плюс бесконечности.
Интервал значений аргумента, при которых функция убывает, это [0, +∞).
Таким образом, ответы на вопросы:
а) Координаты вершины параболы: (0,25)
б) При каких значениях аргумента значения функции положительны: (-5, 5)
в) При каких значениях аргумента функция возрастает: (-∞, 0]
г) При каких значениях аргумента функция убывает: [0, +∞)
Аргумент логарифма:
Аргумент логарифма должен быть положительным, так как логарифм отрицательного или нулевого числа не имеет смысла в рамках действительных чисел.
Таким образом, необходимо найти условия, при которых (x-4) > 0.
Выражение под корнем:
Выражение под корнем должно быть неотрицательным, так как не определенно извлечение корня из отрицательного числа в рамках действительных чисел.
Таким образом, нужно найти условия, при которых x - 4 ≥ 0.
Объединение ограничений:
Для того, чтобы выражение log3 корень (x-4) имело смысл, должны выполняться оба ограничения одновременно.
(x-4) > 0 и x - 4 ≥ 0.
Ограничение (x-4) > 0 говорит нам, что x должно быть больше 4.
Ограничение x - 4 ≥ 0 говорит нам, что x должно быть больше или равно 4.
Таким образом, условие для того, чтобы выражение log3 корень (x-4) имело смысл: x > 4.
Получается, что x должно быть больше 4, тогда выражение log3 корень (x-4) будет иметь смысл.
Обоснование:
Выражение log3 корень (x-4) означает логарифм по основанию 3 из корня из (x-4). Логарифм представляет собой функцию обратную экспоненте. Основание логарифма определяет, во сколько раз нужно возвести это основание в степень, чтобы получить число, скрывающееся под логарифмом. В данном случае, основание равно 3, то есть мы хотим найти, во сколько раз нужно возвести 3 в степень, чтобы получить корень из (x-4).
Значение под корнем (x-4) должно быть положительным, так как отрицательное число не имеет корня в рамках действительных чисел. То есть (x-4) > 0.
Поэтому, нужно, чтобы x > 4, чтобы выражение log3 корень (x-4) имело смысл.
В пошаговом решении мы сначала находим ограничения на аргументы логарифма и выражения под корнем. Затем объединяем эти ограничения, чтобы получить окончательное условие, при котором выражение имеет смысл.