Запишем данное уравнение в виде P(x,y)*dx+Q(x,y)*dy=0, где P(x,y)=ln(y)-5*y²*sin(5*x), Q(x,y)=x/y+2*y*cos(5*x). Для того, чтобы данное уравнение было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно выполнения условия dP/dy=dQ/dx. В нашем случае dP/dy=1/y-10*y*sin(5*x), dQ/dx=1/y-10*y*sin(5*x), т.е. dP/dy=dQ/dx, поэтому данное уравнения есть уравнение в полных дифференциалах. Но тогда справедлива система уравнений:
где du/dx и du/dy - частные производные от искомой функции u(x,y).
Интегрируя первое уравнение системы по x, находим u(x,y)=ln(y)*∫dx-5*y²*∫sin(5*x)*dx=x*ln(y)-y²*cos(5*x)+f(y), где f(y) - неизвестная пока функция от y. Дифференцируя теперь это равенство по y, находим du/dy=x/y-2*y*cos(5*x)+f'(y). А так как du/dy=Q(x,y)=x/y-2*y*cos(5*x), то отсюда f'(y)=0 и соответственно f(y)=C1, где С1 - произвольная постоянная. Значит, u(x,y)=x*ln(y)-y²*cos(5*x)+C1. Но так по условию du=0, то u=const=C2, где C2 - также произвольная постоянная. Отсюда получаем равенство x*ln(y)-y²*cos(5*x)=C, где C=C2-C1. Это и есть решение данного уравнения. ответ: x*ln(y)-y²*cos(5*x)=C.
У=ах²+bx+c - общий вид а - старший коэффициент Если а>0, то ветви параболы направлены вверх, если а<0, то вниз.
Чтобы найти координаты вершины параболы, нужно найти сначала Х вершины по формуле: Затем, подставить полученное значение Х в функцию и найти Y вершины.
1) у=х²-4х+3 а=1, следовательно, ветви параболы направлены вверх Yв=2²-4•2+3=4-8+3=-1 (2; -1) - координаты вершины
2) у=-12х+1 Графиком является прямая.
3) у=х²-10х+15 а=1, следовательно, ветви параболы направлены вверх Yв=5²-10•5+15=25-50+15=-10 (5; -10) - координаты вершины
P(x,y)=ln(y)-5*y²*sin(5*x)=du/dx
Q(x,y)=x/y+2*y*cos(5*x)=du/dy,
где du/dx и du/dy - частные производные от искомой функции u(x,y).
Интегрируя первое уравнение системы по x, находим u(x,y)=ln(y)*∫dx-5*y²*∫sin(5*x)*dx=x*ln(y)-y²*cos(5*x)+f(y), где f(y) - неизвестная пока функция от y. Дифференцируя теперь это равенство по y, находим du/dy=x/y-2*y*cos(5*x)+f'(y). А так как du/dy=Q(x,y)=x/y-2*y*cos(5*x), то отсюда f'(y)=0 и соответственно f(y)=C1, где С1 - произвольная постоянная. Значит, u(x,y)=x*ln(y)-y²*cos(5*x)+C1. Но так по условию du=0, то u=const=C2, где C2 - также произвольная постоянная. Отсюда получаем равенство x*ln(y)-y²*cos(5*x)=C, где C=C2-C1. Это и есть решение данного уравнения. ответ: x*ln(y)-y²*cos(5*x)=C.
а - старший коэффициент
Если а>0, то ветви параболы направлены вверх, если а<0, то вниз.
Чтобы найти координаты вершины параболы, нужно найти сначала Х вершины по формуле:
Затем, подставить полученное значение Х в функцию и найти Y вершины.
1) у=х²-4х+3
а=1, следовательно, ветви параболы направлены вверх
Yв=2²-4•2+3=4-8+3=-1
(2; -1) - координаты вершины
2) у=-12х+1
Графиком является прямая.
3) у=х²-10х+15
а=1, следовательно, ветви параболы направлены вверх
Yв=5²-10•5+15=25-50+15=-10
(5; -10) - координаты вершины
4) у=-х²-8х+3
а=-1, следовательно, ветви направлены вниз
Yв=-(-4)²-8•(-4)+3=-16+32+3=19
(-4; 19) - координаты вершины