Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом математической индукции.
Шаг 1: Проверим базовый случай.
Подставим вместо a, b и c конкретные значения целых чисел:
a = 0, b = 0, c = 0. Тогда выражение a² + b² + c² + 1 примет вид 0 + 0 + 0 + 1 = 1.
Число 1 не делится на 8, поэтому базовый случай верен.
Шаг 2: Предположим, что для некоторых целых чисел a, b и c выражение a² + b² + c² + 1 не делится на 8.
Докажем, что в этом случае и для чисел a+1, b+1 и c+1 утверждение также будет верно.
Подставляем эти значения в исходное выражение:
(a+1)² + (b+1)² + (c+1)² + 1 = a² + b² + c² + 2a + 2b + 2c + 3
Разложим это выражение на сумму:
(a² + b² + c² + 1) + (2a + 2b + 2c + 2)
Заметим, что второе слагаемое является четным числом, так как каждое из чисел a, b и c может быть как четным, так и нечетным. Поэтому, если a² + b² + c² + 1 не делится на 8, то и (a+1)² + (b+1)² + (c+1)² + 1 не будет делиться на 8.
Шаг 3: Исходя из базового случая и предположения, мы можем сделать вывод, что утверждение a² + b² + c² + 1 не делится на 8 верно для всех целых чисел a, b и c.
Таким образом, мы доказали, что, каковы бы ни были целые числа a, b, c, число a² + b² + c² + 1 не делится на 8.
Нам дано, что издержки при производстве линейно зависят от объема производства. Используем уравнение прямой:
с = mx + b,
где m - коэффициент наклона прямой (указывает на темп роста издержек), а b - свободный член (указывает на издержки при нулевом объеме производства).
Для определения значения m и b подставим в уравнение две известные пары значений (x, с):
Сначала подставим х = 12 и с = 12:
12 = m * 12 + b.
Затем подставим х = 6 и с = 14:
14 = m * 6 + b.
Теперь нам нужно решить эту систему уравнений для нахождения значений m и b.
Вычтем второе уравнение из первого, чтобы избавиться от b:
12 - 14 = m * 12 - (m * 6) + b - b.
-2 = 6m - 6m.
-2 = 0.
Получаем противоречие. Данная система уравнений несовместна. Возможно, в условии ошибка или неполная информация.
Ответ: функция издержек производства не имеет однозначного вида, так как задача не решаема в представленном виде.
Шаг 1: Проверим базовый случай.
Подставим вместо a, b и c конкретные значения целых чисел:
a = 0, b = 0, c = 0. Тогда выражение a² + b² + c² + 1 примет вид 0 + 0 + 0 + 1 = 1.
Число 1 не делится на 8, поэтому базовый случай верен.
Шаг 2: Предположим, что для некоторых целых чисел a, b и c выражение a² + b² + c² + 1 не делится на 8.
Докажем, что в этом случае и для чисел a+1, b+1 и c+1 утверждение также будет верно.
Рассмотрим выражение (a+1)² + (b+1)² + (c+1)² + 1:
(a+1)² = a² + 2a + 1
(b+1)² = b² + 2b + 1
(c+1)² = c² + 2c + 1
Подставляем эти значения в исходное выражение:
(a+1)² + (b+1)² + (c+1)² + 1 = a² + b² + c² + 2a + 2b + 2c + 3
Разложим это выражение на сумму:
(a² + b² + c² + 1) + (2a + 2b + 2c + 2)
Заметим, что второе слагаемое является четным числом, так как каждое из чисел a, b и c может быть как четным, так и нечетным. Поэтому, если a² + b² + c² + 1 не делится на 8, то и (a+1)² + (b+1)² + (c+1)² + 1 не будет делиться на 8.
Шаг 3: Исходя из базового случая и предположения, мы можем сделать вывод, что утверждение a² + b² + c² + 1 не делится на 8 верно для всех целых чисел a, b и c.
Таким образом, мы доказали, что, каковы бы ни были целые числа a, b, c, число a² + b² + c² + 1 не делится на 8.