Ax+b=c
ax+b-b=c-b
ax=c-b
ax:a=(c-b) :a
x=

1) при каких значениях параметра р уравнение х²-2(p-1)x+4р²=0 имеет не более одного корня?

Если дискриминант D≤0 , то уравнение имеет не более одного решения.

D = 4(p-1)² - 16р² = 4p² - 8p + 4 - 16р² = -12р² - 8p + 4

-12р² - 8p + 4 ≤ 0

или

-3р² - 2p + 1 ≤ 0 (А)

Найдём корни уравнения

-3р² - 2p + 1 = 0

D = 4+12 = 16

p₁ = (2 + 4):(-6) = -1

p₂ = (2 - 4):(-6) = 1/3

Решение неравенства (А) таково: х∈(-∞, -1] и [1/3, +∞)

Это и будет ответом.

 

2) при каких значениях параметра р уравнение х² - (p+3)х +16=0 имеет хотя бы один корень?

Если дискриминант D≥0 , то уравнение имеет хотя бы один корень.
D = (p+3)² - 64 = p² +6p + 9 - 64 = р² + 6p - 55
р² + 6p - 55 ≥ 0 (В)
Найдём корни уравнения
р² + 6p - 55 = 0
D = 36+220 = 256
p₁ = (-6 + 16):2 = 5
p₂ = (-6 - 16):2 = -11

Решение неравенства (В) таково: х∈(-∞, -11] и [5, +∞)
Это и будет ответом.

1) 5sin^2 x + 5sin x*cos x = 3sin^2 x + 3 cos^2 x
2sin^2 x + 5sin x*cos x - 3cos^2 x = 0
Делим все на cos^2 x =/= 0
2tg^2 x + 5tg x - 3 = 0
Квадратное уравнение относительно tg x.
D = 5^2 - 4*2(-3) = 25 + 24 = 49 = 7^2
tg x1 = (-5 - 7)/4 = -3; x1 = -arctg 3 + pi*k
tg x2 = (-5 + 7)/4 = 1/2; x2 = arctg(1/2) + pi*n

2) sin x + cos x = кор(2)*sin 5x
Преобразуем левую часть
sin x + cos x = кор(2)*(sin x*1/кор(2) + cos x*1/кор(2)) =
= кор(2)*(sin x*cos(pi/4) + cos x*sin(pi/4)) = кор(2)*sin(x + pi/4)
Получаем
кор(2)*sin(x + pi/4) = кор(2)*sin 5x
sin(x + pi/4) = sin 5x
Возможны два случая
1) sin a = sin (a + 2pi*k)
5x = x + pi/4 + 2pi*k
4x = pi/4 + 2pi*k
x = pi/16 + pi/2*k
2) sin a = sin (pi - a + 2pi*n)
5x = pi - x - pi/4 + 2pi*n
6x = 3pi/4 + 2pi*n
x = pi/8 + pi/3*n