B7 Три числа, записанные в порядке возрастания, являются первыми тремя членами геометрической прогрессии. Их можно рассматривать соответственно как первый, третий и одиннадцатый члены арифметической прогрессии. Найдите наибольшее из этих чисел, если их сумма равна 63.
Дано, что три числа, записанные в порядке возрастания, являются первыми тремя членами геометрической прогрессии. Пусть эти числа будут a, ar и ar^2, где a - первый член прогрессии, а r - знаменатель прогрессии.
Также, эти же три числа можно рассматривать как первый, третий и одиннадцатый члены арифметической прогрессии. Пусть это будут b, b + d и b + 10d, где b - первый член прогрессии, а d - разность прогрессии.
Теперь, учитывая, что сумма этих трёх чисел равна 63, мы можем записать следующее уравнение:
a + ar + ar^2 = b + b + d + b + 10d
Для решения данного уравнения, необходимо определить значения a, b, r и d. Для этого проведём следующие шаги:
1. Найдём значение r:
Согласно условию, три числа, записанные в порядке возрастания, являются первыми тремя членами геометрической прогрессии. Это означает, что отношение каждого последующего числа к предыдущему числу будет постоянным (r), следовательно:
ar = b + d
ar^2 = b + 10d
Теперь найдём соотношение r из этих уравнений:
(ar^2) / (ar) = (b + 10d) / (b + d)
r = (b + 10d) / (b + d)
2. Найдём значение d:
Используя значение r, найденное в предыдущем шаге, применим его к двум уравнениям:
ar = b + d
ar^2 = b + 10d
Умножим первое уравнение на r:
ar^2 = b + rd
Подставим это значение во второе уравнение и получим:
(b + rd) = b + 10d
rd = 10d
r = 10
Теперь подставим значение r в уравнение a + ar + ar^2 = b + b + d + b + 10d:
a + 10a + 100a = b + b + d + b + 10d
111a = 3b + 11d
3. Найдём значение a:
Так как a, ar и ar^2 являются первыми тремя членами геометрической прогрессии, то их отношения также равны константе r:
ar / a = ar^2 / ar
r = ar^2 / a^2
10 = (ar^2) / (a^2)
Теперь подставим значение r = 10 в уравнение:
10 = (a * (10^2)) / a^2
10 = 100 / a
a = 10
4. Найдём значения b и d:
Теперь, когда у нас есть значение a = 10, подставим его в уравнение 111a = 3b + 11d:
111 * 10 = 3b + 11d
1110 = 3b + 11d
Также, зная, что два соседних члена арифметической прогрессии b и b + d отличаются на одну и ту же константу d, можно записать следующее уравнение:
b + 10d - b = d
10d = d
9d = 0
d = 0
Теперь, используя значение d = 0, подставим его в уравнение 1110 = 3b + 11d:
1110 = 3b + 11 * 0
1110 = 3b
b = 370
5. Найти наибольшее из этих чисел:
Так как наибольшее число из трёх равно ar^2, где r = 10 и a = 10, подставим эти значения в формулу:
ar^2 = 10 * 10^2 = 1000
Ответ: наибольшее число из этих трёх - 1000.