4) Уравнение плоскости АВС по трём точкам можно определить так:
Пусть (х1, х2, х3), (у1, у2, у3) и (z1, z2, z3) – координаты первой, второй и третьей точек соответственно.
Тогда уравнение определяется из этого выражения: (x-x1)*(у2-y1)*(z3-z1) – (x-x1)*(z2-z1)*(y3-y1) – (y-y1)*(x2-x1)*(z3-z1) + (y-y1)*(z2-z1)*(x3-x1) + (z-z1)*(x2-x1)*(y3-y1) – (z-z1)*(y2-y1)*(x3-x1) = 0.
Подставив координаты точек, после приведения подобных и сокращения, получим: АВС: 2x - 3y +z + 1 = 0.
Решение: Обозначим время до встречи автобусов за t, -cкорость V1 первого автобуса равна: V1=132/(t+50/60) -cкорость второго автобуса равна: V2=132/(t+1 12/60) Скорость сближения автобусов равна: 132/(t+50/60)+132/(t+1 12/60)=132/t 132/(t+5/6)+132/(t+1,2)=132/t приведём уравнение к общему знаменателю (t)*(t+5/6)*(t+1,2) t*(t+1,2)*132+t*(t+5/6)*132=(t+5/6)*(t+1,2)*132 132t²+158,4t+132t²+110t=(t²+5/6*t+1/2t+1)*132 132t²+158,4t+132t²+110t=132t²+110t+158,4t+132 132t²+158,4t+132t²+110t-132t²-110t-158,4t-132=0 132t²-132=0 132t²=132 t²=132/132 t²=1 t=√1 t=1 Отсюда: -скорость первого автобуса равна: V1=132/(1+50/60)=132/(1+5/6)= =132/(11/6)=72(км/час) -скорость второго автобуса равна: V2=132/(1+1 12/60)=132/(1+1,2)=132/2,2=60(км/час)
ответ: скорость первого автобуса 72км/час; скорость второго автобуса 60км/час
Так как решения для разных вариантов аналогичны, то даём ответ на вариант 1.
Даны вершины пирамиды:
А(1; 3; 6), В(2; 2; 1), С(-1; 0; 1) и Д(-4; 6; 3).
Находим векторы из вершины А.
АВ(1; -1; -5), АС(-2; -3; -5), АД(-5; 3; -9).
1) Векторное произведение АВ х АС =
х у z x y 5x + 10y - 3z + 5y -15x - 2z =
1 -1 -5 1 -1 = -10x + 15y - 5x.
-2 -3 -5 -2 -3 АВ х АС = (-10; 15; -5).
Скалярное произведение (АВ х АС) * АД = 50 + 45 + 45 = 140.
Объём равен (1/6)*140 = 70/3.
2) 1) Векторное произведение АВ х АД =
х у z x y 9x + 25y + 3z + 9y + 15x - 5z =
1 -1 -5 1 -1 = 24x + 34y - 2z.
-5 3 -9 -5 3 АВ х АД = (24; 34; -2).
Модуль произведения равен √(576 + 1156 + 4) =√1736 = 2√434.
Площадь грани АВД = (1/2)*2√434 = √434 ≈ 20,83267.
3) cos(AC_AD) = (-2*-5 + -3*3 6 + -5*-9)/(√38*√115) = 46/√4370 =
= 0,695852.
Угол (AC_AD) = arc cos (46/√4370) = 45,90482°.
4) Уравнение плоскости АВС по трём точкам можно определить так:
Пусть (х1, х2, х3), (у1, у2, у3) и (z1, z2, z3) – координаты первой, второй и третьей точек соответственно.
Тогда уравнение определяется из этого выражения: (x-x1)*(у2-y1)*(z3-z1) – (x-x1)*(z2-z1)*(y3-y1) – (y-y1)*(x2-x1)*(z3-z1) + (y-y1)*(z2-z1)*(x3-x1) + (z-z1)*(x2-x1)*(y3-y1) – (z-z1)*(y2-y1)*(x3-x1) = 0.
Подставив координаты точек, после приведения подобных и сокращения, получим: АВС: 2x - 3y +z + 1 = 0.
5) Уравнение АВ: (x - 1)/1 = (y - 3)/-1 = (z - 6)/-5.
6) Угол между прямой AD и плоскостью АВС:
Направляющий вектор прямой имеет вид: l m n Скалярное произведение 125
s = {l; m; n} -5 2 -9 Модуль =√110 = 10,48808848.
Вектор нормали плоскости имеет вид: A B C
Ax + By + Cz + D = 0 -10 15 -5
Модуль равен 18,70828693
100 225 25 350
sin fi = 0,637058989
fi = 0,690676766 радиан = 39,57286369 градус
Обозначим время до встречи автобусов за t,
-cкорость V1 первого автобуса равна:
V1=132/(t+50/60)
-cкорость второго автобуса равна:
V2=132/(t+1 12/60)
Скорость сближения автобусов равна:
132/(t+50/60)+132/(t+1 12/60)=132/t
132/(t+5/6)+132/(t+1,2)=132/t приведём уравнение к общему знаменателю (t)*(t+5/6)*(t+1,2)
t*(t+1,2)*132+t*(t+5/6)*132=(t+5/6)*(t+1,2)*132
132t²+158,4t+132t²+110t=(t²+5/6*t+1/2t+1)*132
132t²+158,4t+132t²+110t=132t²+110t+158,4t+132
132t²+158,4t+132t²+110t-132t²-110t-158,4t-132=0
132t²-132=0
132t²=132
t²=132/132
t²=1
t=√1
t=1
Отсюда:
-скорость первого автобуса равна: V1=132/(1+50/60)=132/(1+5/6)=
=132/(11/6)=72(км/час)
-скорость второго автобуса равна: V2=132/(1+1 12/60)=132/(1+1,2)=132/2,2=60(км/час)
ответ: скорость первого автобуса 72км/час; скорость второго автобуса 60км/час