Это окружность с радиусом и центром (2; 1). Изобразим это графически (см. рис. 1) Единственный случай, когда система имеет единственное решение, представлен на рисунке 1. При увеличении a окружность будет увеличиваться, и система будет иметь бесконечно много решений.
Радиус окружности перпендикулярен прямой y = -x + 8 и проходит через точку (2; 1). Значит, прямая, содержащая этот радиус, имеет вид y = x + m. Подставив x = 2, y = 1, получим m = -1. Найдём точку пересечения прямых y = x - 1 и y = -x + 8:
Это точка (4,5; 3,5), то есть центр некоторого квадрата. Заметим, что радиус равен 2,5 диагоналям квадрата со стороной 1. Значит,
2. Если , то x = 0, y = 0. Тогда из уравнения следует, что a = 0. Тогда окружность будет иметь радиус . Значит, с областью она не будет иметь пересечений, и в данном случае решение единственно (рис. 2).
(x-2)^2+(y-2)^2<=1 (заштрихованный круг с центром (2,2) и радиусом 1 )
2) x<0 ; y<0
(x+2)^2+(y+2)^2<=1 ( заштрихованный круг с центром (-2,-2) и радиусом 1)
3) x>0 ; y<0
(x-2)^2+(y+2)^2<=1 ( заштрихованный круг с центром (2;-2) и радиусом 1)
4) x<0 , y>0
(x+2)^2+(y-2)^2<=1 (заштрихованный круг c центром (-2;2) и радиусом 1)
Рассмотрим уравнение 2 :
x^2+y^2+2y=a^2-1
x^2+y^2+2y+1=a^2
x^2+(y+1)^2=a^2 ( окружность с центром (0;-1) и радиусом |a| , то есть радиус окружности меняется в зависимости от параметра a)
Покажем на рисунке все случаи существования решений в зависимости от радиуса a. ( они соответствуют случаям касаний окружностей). Все нужные обозначения на рисунке.
Найдем теперь расстояние между центрами окружностей:
A (-2;-2) ; C(0;-1) ; B( -2;2)
AC=√( (-2-0)^2 +(-2-(-1) )^2 )= √(4+1)=√5
BC= √( (-2-0)^2 +( 2-(-1) )^2 )=√(4+9)=√13
a1= AC-1 =√5-1
a2= AC+1 =√5+1
a3= BC-1=√13-1
a4=BC+1=√13+1
Cравним числа :
√5+1 и √13-1
2 и √13-√5
4 и 18-2*√65
-14 и -2√65
-7 и -√65
-√49 > -√65
Вывод:
√5+1 >√13 -1
a4>a2>a3>a1
Тогда из рисунка видно , что хотя бы 1 решение ( решения существует) ,когда |a|∈[ a1 ;a4]
Рассмотрим неравенство:
1. Если
, то оно будет равносильно неравенству
Рассмотрим уравнение:
Это окружность с радиусом
и центром (2; 1). Изобразим это графически (см. рис. 1) Единственный случай, когда система имеет единственное решение, представлен на рисунке 1. При увеличении a окружность будет увеличиваться, и система будет иметь бесконечно много решений.
Радиус окружности перпендикулярен прямой y = -x + 8 и проходит через точку (2; 1). Значит, прямая, содержащая этот радиус, имеет вид y = x + m. Подставив x = 2, y = 1, получим m = -1. Найдём точку пересечения прямых y = x - 1 и y = -x + 8:
Это точка (4,5; 3,5), то есть центр некоторого квадрата. Заметим, что радиус равен 2,5 диагоналям квадрата со стороной 1. Значит,
2. Если
, то x = 0, y = 0. Тогда из уравнения следует, что a = 0. Тогда окружность будет иметь радиус 
. Значит, с областью 
она не будет иметь пересечений, и в данном случае решение единственно (рис. 2).
ответ: 0; 7,5
ответ: a∈ [√5-1 ;√13+1] ∪ [-1-√13 ; 1-√5]
Объяснение:
Рассмотрим первое неравенство в системе:
x^2+y^2+7<=4*( |x|+|y|)
(x^2-4*|x|+4)+(y^2-4*|y|+4)<=1
(|x|-2)^2+( |y|-2)^2<=1
Рассмотрим все случаи :
1) x>0 ,y >0
(x-2)^2+(y-2)^2<=1 (заштрихованный круг с центром (2,2) и радиусом 1 )
2) x<0 ; y<0
(x+2)^2+(y+2)^2<=1 ( заштрихованный круг с центром (-2,-2) и радиусом 1)
3) x>0 ; y<0
(x-2)^2+(y+2)^2<=1 ( заштрихованный круг с центром (2;-2) и радиусом 1)
4) x<0 , y>0
(x+2)^2+(y-2)^2<=1 (заштрихованный круг c центром (-2;2) и радиусом 1)
Рассмотрим уравнение 2 :
x^2+y^2+2y=a^2-1
x^2+y^2+2y+1=a^2
x^2+(y+1)^2=a^2 ( окружность с центром (0;-1) и радиусом |a| , то есть радиус окружности меняется в зависимости от параметра a)
Покажем на рисунке все случаи существования решений в зависимости от радиуса a. ( они соответствуют случаям касаний окружностей). Все нужные обозначения на рисунке.
Найдем теперь расстояние между центрами окружностей:
A (-2;-2) ; C(0;-1) ; B( -2;2)
AC=√( (-2-0)^2 +(-2-(-1) )^2 )= √(4+1)=√5
BC= √( (-2-0)^2 +( 2-(-1) )^2 )=√(4+9)=√13
a1= AC-1 =√5-1
a2= AC+1 =√5+1
a3= BC-1=√13-1
a4=BC+1=√13+1
Cравним числа :
√5+1 и √13-1
2 и √13-√5
4 и 18-2*√65
-14 и -2√65
-7 и -√65
-√49 > -√65
Вывод:
√5+1 >√13 -1
a4>a2>a3>a1
Тогда из рисунка видно , что хотя бы 1 решение ( решения существует) ,когда |a|∈[ a1 ;a4]
a∈ [√5-1 ;√13+1] ∪ [-1-√13 ; 1-√5]