Через фокус параболы и точку пересечения директрисы с осью Ох проведены две взаимно перпендикулярные прямые. Известно, что точка А(-3; 8) лежит на прямой, проходящей через фокус параболы. Найти координаты точки пересечения этих прямых.

Задача1.

24 км/час - скорость лодки

4  км/час - скорость течения реки

Задача2.

130 руб. - детский билет

230 руб. - взрослый билет

Объяснение:

Задача1.

х - скорость собственная лодки

у - скорость течения реки

140/5 = 28 - скорость лодки по течению

140/7 = 20 - скорость лодки против течения

Система уравнений:

х+у=28

х-у=20

Метод подстановки. Выразим х через у в первом уравнении и подставим полученное выражение во второе уравнение:

х=28-у

28-у-у=20

-2у=20-28

-2у=-8

у=4 (км/час - скорость течения реки)

х=28-4=24 (км/час - собственная скорость лодки)

Задача2.

х - стоимость детского билета

у - стоимость взрослого билета

Система уравнений:

2х+у=490

3х+2у=850

Метод подстановки. Выразим у через х в первом уравнении и подставим полученное выражение во второе уравнение:

у=490-2х

3х+2(490-2х)=850

3х+980-4х=850

-х=850-980

-х= -130

х=130 (руб. - стоимость детского билета)

у=490-2*130=230 (руб. - стоимость взрослого билета)

Проверка: 2*130+230=490

                   3*130+2*230=850, всё верно.

Введём замену: (x + (1/x)) = t.

t² = (x + (1/x))² = x² + 2x*(1/x)) + (1/x²) = x² + (1/x²) + 2.

Отсюда получаем x² + (1/x²) = t² - 2.

Исходное уравнение принимает вид 10t - 3(t² - 2) = 6 или

10t - 3t² + 6 = 6, откуда 10t - 3t²  = 0 или t(10 - 3t) = 0.

Получаем 2 корня этого уравнения: t₁ = 0  t₂ = 10/3

Первый корень не выдерживает проверку при обратной замене.

Принимаем (x + (1/x)) =10/3.

Так как (x + (1/x)) = (x² + 1)/x, то по свойству пропорции получаем

3(x² + 1) = 10x, откуда получаем квадратное уравнение

3x² - 10x + 3 = 0,   Д = 100 - 4*3*3 = 64.  

х1 = (10 - 8)/6 = 2/6 = 1/3.

х2 = (10 + 8)/6 = 3.