1. -2;
2. 3.
Объяснение:
1.Sn=6n-n^2
a1 = S1 = 6•1 - 1^2 = 5;
a1+a2 = S2 = 6•2 - 2^2 = 12 - 4 = 8;
a2 = S2 - S1 = 8 - 5 = 3.
Найдём d:
d = a2 - a3 = 3 - 5 = -2.
2. Sn=6n-n^2
Рассмотрим квадратичную функцию
у = 6х - х^2.
Графиком функции является парабола
у = - х^2 + 6х
Ветви параболы направлены вниз, своего наибольшего значения функция достигает в вершине параболы. Найдём её координаты:
х вершины = -b/(2a) = -6/(-2) = 3.
y вершины = - 3^2 +6•3 = -9+18 = 9.
Наибольшего значения 9 функция у = - х^2 + 6х достигает при х = 3.
Так как 3 - натуральное число, то и наша функция Sn=6n-n^2, определённая только для натуральных n, достигает наибольшего значения 9 при n = 3.
Необходимо взять три первых члена прогрессии, чтобы их сумма была наибольшей и равной 9.
ответить на второй вопрос можно и по-прежнему другому:
Sn=6n-n^2
- n^2 + 6n = - (n^2 - 6n) = - (n^2 -2•n•3 + 9 - 9) = - ((n-3)^2 -9) = - (n-3)^2 + 9.
Так как слагаемое 9 постоянно, a - (n-3)^2 неположительно для любого n, то наибольшей сумма будет тогда, когда наибольшим будет первое слагаемое, т.е. когда - (n-3)^2 = 0, при n = 3.
В этом случае Sn = - (n-3)^2 + 9 = 0 + 9 = 9.
а =14
Задание
При каком значении а число 3 является корнем уравнения х² + ах – 51 =0?
Решение
Согласно теореме Виета:
- произведение корней приведенного квадратного уравнения равно свободному члену;
- а сумма корней - равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком.
Согласно условию задачи, один из корней данного уравнения
х₁ =3; это значит, что, согласно теореме Виета:
х₁ · х₂ = - 51,
откуда х₂ = (-51) : 3 = - 17.
Зная корни, находим их сумму и берём её с противоположным знаком - это и будет а:
х₁ + х₂ = 3 - 17 = -14,
следовательно, а = - (-14) = 14.
ПРОВЕРКА
Если а = 14, то уравнение принимает вид:
х² + 14х – 51 =0.
Находим корни этого уравнения:
х₁,₂ = - 7 ±√(7²+51) = -7±√100 = -7±10;
х₁ = - 7+10 = 3 - что соответствует условию задачи;
х₂ = - 7-10 = -17- что соответствует выполненному нами расчету.
Всё сходится - значит, не ошиблись.
ответ: при а =14.
ПРИМЕЧАНИЕ
Тот же ответ можно получить, если в первоначальное уравнение подставить вместо х его значение 3 и решить полученное уравнение относительно а.
1. -2;
2. 3.
Объяснение:
1.Sn=6n-n^2
a1 = S1 = 6•1 - 1^2 = 5;
a1+a2 = S2 = 6•2 - 2^2 = 12 - 4 = 8;
a2 = S2 - S1 = 8 - 5 = 3.
Найдём d:
d = a2 - a3 = 3 - 5 = -2.
2. Sn=6n-n^2
Рассмотрим квадратичную функцию
у = 6х - х^2.
Графиком функции является парабола
у = - х^2 + 6х
Ветви параболы направлены вниз, своего наибольшего значения функция достигает в вершине параболы. Найдём её координаты:
х вершины = -b/(2a) = -6/(-2) = 3.
y вершины = - 3^2 +6•3 = -9+18 = 9.
Наибольшего значения 9 функция у = - х^2 + 6х достигает при х = 3.
Так как 3 - натуральное число, то и наша функция Sn=6n-n^2, определённая только для натуральных n, достигает наибольшего значения 9 при n = 3.
Необходимо взять три первых члена прогрессии, чтобы их сумма была наибольшей и равной 9.
ответить на второй вопрос можно и по-прежнему другому:
Sn=6n-n^2
- n^2 + 6n = - (n^2 - 6n) = - (n^2 -2•n•3 + 9 - 9) = - ((n-3)^2 -9) = - (n-3)^2 + 9.
Так как слагаемое 9 постоянно, a - (n-3)^2 неположительно для любого n, то наибольшей сумма будет тогда, когда наибольшим будет первое слагаемое, т.е. когда - (n-3)^2 = 0, при n = 3.
В этом случае Sn = - (n-3)^2 + 9 = 0 + 9 = 9.
а =14
Объяснение:
Задание
При каком значении а число 3 является корнем уравнения х² + ах – 51 =0?
Решение
Согласно теореме Виета:
- произведение корней приведенного квадратного уравнения равно свободному члену;
- а сумма корней - равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком.
Согласно условию задачи, один из корней данного уравнения
х₁ =3; это значит, что, согласно теореме Виета:
х₁ · х₂ = - 51,
откуда х₂ = (-51) : 3 = - 17.
Зная корни, находим их сумму и берём её с противоположным знаком - это и будет а:
х₁ + х₂ = 3 - 17 = -14,
следовательно, а = - (-14) = 14.
ПРОВЕРКА
Если а = 14, то уравнение принимает вид:
х² + 14х – 51 =0.
Находим корни этого уравнения:
х₁,₂ = - 7 ±√(7²+51) = -7±√100 = -7±10;
х₁ = - 7+10 = 3 - что соответствует условию задачи;
х₂ = - 7-10 = -17- что соответствует выполненному нами расчету.
Всё сходится - значит, не ошиблись.
ответ: при а =14.
ПРИМЕЧАНИЕ
Тот же ответ можно получить, если в первоначальное уравнение подставить вместо х его значение 3 и решить полученное уравнение относительно а.