Вычтем соответственно числа 2; 1; 7; 27 и получим первые четыре числа арифметической прогрессии:
a₁ = b₁ - 2 a₂ = b₁*q - 1
a₃ = b₁*q² - 7
a₄ = b₁*q³ - 27
По свойствам арифметической прогрессии каждый её член, начиная со второго, равен среднему арифметическому соседних членов.
Применим это свойство для второго члена а₂
а₁+а₃=2а₂
Подставим вместо а₁ ;а₂ ; а₃ их зачения. b₁ - 2 + b₁q² - 7 = 2*(b₁q -1 )
b₁ - 2*b₁·q + b₁*q² = 2 + 7- 2
b₁·(1-2q+q²) = 7
b₁*(1-q)² = 7
b₁ = 7/(1-q)²
Умножим обе части на q.
b₁q = 7q/(1-q)² (это первое уравнение)
Теперь применим это свойство для третьего члена а₃
а₂+а₄=2*а₃
b₁*q - 1 + b₁*q³ - 27 = 2*(b₁q² -7)
b₁q - 2*b₁q² + b₁q³ = 1+27-14
b₁q*(1-q)² = 14
b₁q = 14/(1-q)² (второе уравнение)
В первом и во втором уравнениях левые части равны, значит, равны их правые части 7q/(1-q)² = 14/(1-q)²
q = 2
b₁= 7/(1-2)²
b₁= 7/1
b₁ = 7
При b₁ = 7 и q = 2 легко найти первые четыре числа, которые представляют геометрическую прогрессию.
b₁ = 7 b₂ = b₁*q => b₂ = 7*2 => b₂ = 14
b₃ = b₁*q² => b₃ = 7*4 => b₃ = 28
b₄ = b₁*q³ => b₄ = 7*8 => b₄ = 56
7; 14; 28; 56 - искомые числа.
Проверим дадут ли они арифметическую прогрессию если от них соответственно отнять 2,1,7 и 27.
a₁ = b₁ - 2 => a₁ = 7 - 2 => a₁ = 5 a₂ = b₂ - 1 => a₂ = 14-1 => a₂ = 13
a₃ = b₃ - 7 => a₃ = 28 - 7 => a₃ = 21
a₄ = b₄ - 27 => a₄ = 56 - 27 => a₄ = 29
Числа 5; 13; 21; 29 действительно дают арифметическую прогрессию.
ответ: 7; 14; 28; 56 - данные числа
b₁ ; b₁q ; b₁q² ; b₁q³
Вычтем соответственно числа 2; 1; 7; 27 и получим первые четыре числа арифметической прогрессии:
a₁ = b₁ - 2
a₂ = b₁*q - 1
a₃ = b₁*q² - 7
a₄ = b₁*q³ - 27
По свойствам арифметической прогрессии каждый её член, начиная со второго, равен среднему арифметическому соседних членов.
Применим это свойство для второго члена а₂
а₁+а₃=2а₂
Подставим вместо а₁ ;а₂ ; а₃ их зачения.
b₁ - 2 + b₁q² - 7 = 2*(b₁q -1 )
b₁ - 2*b₁·q + b₁*q² = 2 + 7- 2
b₁·(1-2q+q²) = 7
b₁*(1-q)² = 7
b₁ = 7/(1-q)²
Умножим обе части на q.
b₁q = 7q/(1-q)² (это первое уравнение)
Теперь применим это свойство для третьего члена а₃
а₂+а₄=2*а₃
b₁*q - 1 + b₁*q³ - 27 = 2*(b₁q² -7)
b₁q - 2*b₁q² + b₁q³ = 1+27-14
b₁q*(1-q)² = 14
b₁q = 14/(1-q)² (второе уравнение)
В первом и во втором уравнениях левые части равны, значит, равны их правые части
7q/(1-q)² = 14/(1-q)²
q = 2
b₁ = 7/(1-q)²
b₁= 7/(1-2)²
b₁= 7/1
b₁ = 7
При b₁ = 7 и q = 2 легко найти первые четыре числа, которые представляют геометрическую прогрессию.
b₁ = 7
b₂ = b₁*q => b₂ = 7*2 => b₂ = 14
b₃ = b₁*q² => b₃ = 7*4 => b₃ = 28
b₄ = b₁*q³ => b₄ = 7*8 => b₄ = 56
7; 14; 28; 56 - искомые числа.
Проверим дадут ли они арифметическую прогрессию если от них соответственно отнять 2,1,7 и 27.
a₁ = b₁ - 2 => a₁ = 7 - 2 => a₁ = 5
a₂ = b₂ - 1 => a₂ = 14-1 => a₂ = 13
a₃ = b₃ - 7 => a₃ = 28 - 7 => a₃ = 21
a₄ = b₄ - 27 => a₄ = 56 - 27 => a₄ = 29
Числа 5; 13; 21; 29 действительно дают арифметическую прогрессию.
ответ: 7; 14; 28; 56 - данные числа