Что необходимо знать, чтобы найти унаиб и унаим, для функции на отрезке [a;b], если функция непрерывна на этом отрезке?

Чтобы найти максимум функции, сначала найдём производную и приравняем её к нулю (критические точки), затем определит знаки производной.
1) Производная у  = 2(х - 7)(х + 8) + (х - 7)^2 = (x - 7)(2x + 16 + x - 7) = (x - 7)(3x + 9)= 3(x - 7)(x + 3)
2) Найдём критические точки 3(х - 7)(х + 3)= 0 (распадающееся уравнение)
х - 7 = 0           х + 3 = 0
х = 7                х = - 3
3) Нарисуйте числовую прямую и отметьте критические точки - 3 и 7. Они разбиваю прямую на три промежутка. Так как перед переменными стоят положительные  знаки, то используя метод интервалов с правого интервала идёт чередование знаков "+ "  "-"   "+" 
4) В точке х = - 3 знаки производной меняются с "+" на "-", а это признак точки максимум
ответ: х = - 3

Производительность             Время                     Количество деталей
                       (шт./час)                             (час)                                     (шт.)
Первый                 х                                      5                                           5х
Второй                 26-х                                  3                                           3(26-х)
Всего                     -                                      -                                            108
Составляем уравнение:
5х+3(26-х)=108
5х+78-3х=108
2х=108-78
2х=30
х=30:2
х=15(шт./час)-изготавливал первый рабочий
26-15=11(шт./час)-изготавливал второй рабочий
х=30:2
х=15(шт./час)-изготавливал первый рабочий
26-15=11(шт./час)-изготавливал второй рабочий