В
Все
М
Математика
О
ОБЖ
У
Українська мова
Д
Другие предметы
Х
Химия
М
Музыка
Н
Немецкий язык
Б
Беларуская мова
Э
Экономика
Ф
Физика
Б
Биология
О
Окружающий мир
Р
Русский язык
У
Українська література
Ф
Французский язык
П
Психология
А
Алгебра
О
Обществознание
М
МХК
В
Видео-ответы
Г
География
П
Право
Г
Геометрия
А
Английский язык
И
Информатика
Қ
Қазақ тiлi
Л
Литература
И
История
эрж1
эрж1
07.02.2023 22:44 •  Алгебра

Ctgx - 2tg2x - 4tg4x = 9tgx

Показать ответ
Ответ:
Chillin
Chillin
14.01.2022 06:40

(см. объяснение)

Объяснение:

\mathrm{ctg}\,x-2\mathrm{tg}\,2x-4\mathrm{tg}\,4x=9\mathrm{tg}\,x

Выполним "хитрое" преобразование:

\left(\mathrm{ctg}\,x-\mathrm{tg}\,x\right)-2\mathrm{tg}\,2x-4\mathrm{tg}\,4x=8\mathrm{tg}\,x

Я не с проста выделил скобками разность тангенса и котангенса.

Давайте разберемся в чем здесь секрет:

\mathrm{ctg}\,x-\mathrm{tg}\,x=\dfrac{\cos x}{\sin x}-\dfrac{\sin x}{\cos x}=2\cdot\dfrac{\cos^2 x-\sin^2 x}{2\sin x\cos x}=2\mathrm{ctg}\,2x

О чудо! Уравнение приняло вид:

\left(2\mathrm{ctg}\,2x-2\mathrm{tg}\,2x\right)-4\mathrm{tg}\,4x=8\mathrm{tg}\,x

Думаю теперь не возникает вопросов, что делать.

Ведь теперь алгоритм решения стал прозрачным:

\left(4\mathrm{ctg}\,4x-4\mathrm{tg}\,4x\right)=8\mathrm{tg}\,x

И снова "сжимаем" уравнение:

\mathrm{ctg}\,8x=\mathrm{tg}\,x

Теперь осталось решить то, что записано выше:

\mathrm{ctg}\,8x=\mathrm{tg}\,xdfrac{\cos 8x}{\sin 8x}=\dfrac{\sin x}{\cos x}\\

\left\{\begin{array}{c}\cos 8x\cos x-\sin 8x\sin x=0\\\sin 8x\cos x\ne 0\end{array}\right;left\{\begin{array}{c}\cos 9x=0\\\sin 8x\ne0\\\cos x\ne 0\end{array}\right;

Тогда:

\left\{\begin{array}{c}x=\dfrac{\pi}{18}+\dfrac{n\pi}{9},\;\n\in\mathbb{Z}x\ne\dfrac{k\pi}{8},\;k\in\mathbb{Z}x\ne\dfrac{\pi}{2}+m\pi,\;m\in\mathbb{Z}\end{array}\right;

И эту систему можно записать покороче:

\left\{\begin{array}{c}x=\dfrac{\pi}{18}+\dfrac{n\pi}{9},\;\n\in\mathbb{Z}x\ne\dfrac{\pi}{2}+m\pi,\;m\in\mathbb{Z}\end{array}\right;

Уравнение решено!

0,0(0 оценок)
Популярные вопросы: Алгебра
Полный доступ
Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку
logo
Начни делиться знаниями
Вход Регистрация
Что ты хочешь узнать?
Спроси ai-бота