найдите: а) степень многочлена б) старший коэффициент в) свободный член г)сумму всех коэффициентов в каноническом разложении д)сумму коэффициентов при четных степенях
Геометрическая прогрессия Последовательность чисел {an} называется геометрической прогрессией, если отношение последующего члена к предыдущему равно одному и тому же постоянному числу q, называемому знаменателем геометрической прогрессии. Таким образом, для всех членов геометрической прогрессии. Предполагается, что q ≠ 0 и q ≠ 1.
Любой член геометрической прогрессии можно вычислить по формуле:
Сумма первых n членов геометрической прогрессии определяется выражением
Говорят, что бесконечная геометрическая прогрессия сходится, если предел существует и конечен. В противном случае прогрессия расходится.
Пусть представляет собой бесконечный ряд геометрической прогрессии. Данный ряд сходится к, если знаменатель |q| < 1, и расходится, если знаменатель |q| > 1.
Пример 1 Найти сумму первых 8 членов геометрической прогрессии 3, 6, 12, ..
Решение. Здесь a1 = 3 и q = 2. Для n = 8 получаем
Пример 2 Найти сумму ряда .
Решение. Данный ряд является бесконечной геометрической прогрессией со знаменателем q = − 0,37. Следовательно, прогрессия сходится и ее сумма равна
Пример 3 Найти сумму ряда
Решение. Здесь мы имеем дело с конечной геометрической прогрессией, знаменатель которой равен . Поскольку сумма геометрической прогрессии выражается формулой
то получаем следующий результат:
Пример 4 Выразить бесконечную периодическую дробь 0,131313... рациональным числом.
Решение. Запишем периодическую дробь в следующем виде:
Используя формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем, получаем
Пример 5 Показать, что
при условии x > 1.
Решение. Очевидно, что если x > 1, то . Тогда левая часть в заданном выражении представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Используя формулу, левую часть можно записать в виде
что доказывает исходное соотношение.
Пример 6 Решить уравнение
Решение. Запишем левую часть уравнения в виде суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
Тогда уравнение принимает вид
Находим корни квадратного уравнения:
Поскольку |x| < 1, то решением будет .
Пример 7 Известно, что второй член бесконечно убывающей геометрической прогрессии (|q| < 1) равен 21, а сумма равна 112. Найти первый член и знаменатель прогрессии.
Объяснение:
ОДЗ : cos2x ; sin2x
cosx ± 1/4 ; sinx ; cosx 0
x ± arccos0,25 + 2πk ; x πk/2 , k ∈ z
2*2cos^2 x - 2 = 1/2cos2x * ( ... )
2cos2x = 1/2cos2x * ( ... )
можно поделить на cos2x, так как cos2x также есть в знаменателе, то есть корни мы не теряем
2 = 1/2 * ( ... )
для удобства делаем замену: пусть 2x = t
2 = 1/2 * (/cost + 1/sint)
2 = /2cost + 1/2sint
(sint + cost) / 2costsint = 2
-2 (-/2 sint - 1/2 cost) / 2costsint = 2
-2 (-sin (π/3) sint - cos(π/3) cost) / 2costsint = 2
выносим минус за скобки и сокращаем 2
а также, используя формула приведения косинуса, только в обратную сторону, делаем все красиво
cos (π/3 - t) / costsint = 2
cos (π/3 - t) = 2costsint
cos (π/3 - t) - sin2t = 0
sin (π/2 - (π/3 - t) - sin2t = 0
sin (π/6 + t) - sin2t = 0
используем sin(t) - sin(s) = 2cos((t + s)/2) * sin ((t - s)/2)
и делим на 2
cos ((π + 18t)/12) * sin((π - 6t)/12) = 0
cos ((π + 18t)/12) = 0
sin ((π - 6t)/12) = 0
t = 5π/18 + 2πk/3
t = π/6 + 2πk
вспоминаем, что t = 2x
x = 5π/36 + πk/3
x = π/12 + πk
k ∈ Z
Последовательность чисел {an} называется геометрической прогрессией, если отношение последующего члена к предыдущему равно одному и тому же постоянному числу q, называемому знаменателем геометрической прогрессии. Таким образом, для всех членов геометрической прогрессии. Предполагается, что q ≠ 0 и q ≠ 1.
Любой член геометрической прогрессии можно вычислить по формуле:
Сумма первых n членов геометрической прогрессии определяется выражением
Говорят, что бесконечная геометрическая прогрессия сходится, если предел существует и конечен.
В противном случае прогрессия расходится.
Пусть представляет собой бесконечный ряд геометрической прогрессии. Данный ряд сходится к, если знаменатель |q| < 1, и расходится, если знаменатель |q| > 1.
Пример 1
Найти сумму первых 8 членов геометрической прогрессии 3, 6, 12, ..
Решение.
Здесь a1 = 3 и q = 2. Для n = 8 получаем
Пример 2
Найти сумму ряда .
Решение.
Данный ряд является бесконечной геометрической прогрессией со знаменателем q = − 0,37. Следовательно, прогрессия сходится и ее сумма равна
Пример 3
Найти сумму ряда
Решение.
Здесь мы имеем дело с конечной геометрической прогрессией, знаменатель которой равен . Поскольку сумма геометрической прогрессии выражается формулой
то получаем следующий результат:
Пример 4
Выразить бесконечную периодическую дробь 0,131313... рациональным числом.
Решение.
Запишем периодическую дробь в следующем виде:
Используя формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем, получаем
Пример 5
Показать, что
при условии x > 1.
Решение.
Очевидно, что если x > 1, то . Тогда левая часть в заданном выражении представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Используя формулу, левую часть можно записать в виде
что доказывает исходное соотношение.
Пример 6
Решить уравнение
Решение.
Запишем левую часть уравнения в виде суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
Тогда уравнение принимает вид
Находим корни квадратного уравнения:
Поскольку |x| < 1, то решением будет .
Пример 7
Известно, что второй член бесконечно убывающей геометрической прогрессии (|q| < 1) равен 21, а сумма равна 112. Найти первый член и знаменатель прогрессии.
Решение.
Используем формулу бесконечно убывающей геометрической прогрессии