Дана функция f(x)=x^4-2x^2+3 а) найдите точки экстремума функции б) промежутки возрастания и убывания функции в) вычислите вторую производную функции г) определите выпуклость и вогнутость графика функции
Дана функция f(x) = x^4 - 2x^2 + 3. Давайте по порядку решим каждый пункт задачи.
а) Для нахождения точек экстремума функции необходимо найти значения x, при которых производная функции равна нулю или не существует. Для нашей функции f(x) нужно найти значения x такие, что f'(x) = 0 или f'(x) не существует.
Сначала найдем производную функции f'(x). Чтобы найти производную квадратичной функции, умножим каждую степень x на соответствующий коэффициент и уменьшим степень на 1: f'(x) = 4x^3 - 4x.
Теперь решим уравнение f'(x) = 0:
4x^3 - 4x = 0
Вынесем общий множитель:
4x(x^2 - 1) = 0
Теперь найдем значения x:
- 4x = 0 или x^2 - 1 = 0
Отсюда получаем два уравнения:
1) -4x = 0, решением является x = 0.
2) x^2 - 1 = 0. Решим это квадратное уравнение:
x^2 = 1
x = ±1
Итак, точки экстремума функции f(x) равны x = -1, x = 0 и x = 1.
б) Чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции, нужно проанализировать знак производной f'(x) на разных интервалах. Для этого выберем точки между точками экстремума и точки, где производная не существует, и подставим их в f'(x).
Выберем, например, интервалы (-∞, -1), (-1, 0), (0, 1) и (1, +∞).
Для интервала (-∞, -1):
f'(-2) = 4(-2)^3 - 4(-2) = -32 - (-8) = -24, что отрицательное значение.
Таким образом, на интервале (-∞, -1) функция f(x) убывает.
Для интервала (-1, 0):
f'(-0.5) = 4(-0.5)^3 - 4(-0.5) = -0.5 + 2 = 1.5, что положительное значение.
Таким образом, на интервале (-1, 0) функция f(x) возрастает.
Для интервала (0, 1):
f'(0.5) = 4(0.5)^3 - 4(0.5) = 0.5 - 2 = -1.5, что отрицательное значение.
Таким образом, на интервале (0, 1) функция f(x) убывает.
Для интервала (1, +∞):
f'(2) = 4(2)^3 - 4(2) = 32 - 8 = 24, что положительное значение.
Таким образом, на интервале (1, +∞) функция f(x) возрастает.
Итак, промежутки возрастания функции f(x) - это (-1, 0) и (1, +∞), а промежутки убывания - это (-∞, -1) и (0, 1).
в) Чтобы вычислить вторую производную функции f(x), нужно найти производную от производной f'(x). Выполняем действия:
f''(x) = (4x^3 - 4x)' = 12x^2 - 4.
г) Чтобы определить выпуклость и вогнутость графика функции, нужно проанализировать знак второй производной f''(x) на разных интервалах.
Для интервала (-∞, -1):
f''(-2) = 12(-2)^2 - 4 = 48 - 4 = 44, что положительное значение.
Таким образом, на интервале (-∞, -1) график функции f(x) вогнут вверх.
Для интервала (-1, 0):
f''(-0.5) = 12(-0.5)^2 - 4 = 3 - 4 = -1, что отрицательное значение.
Таким образом, на интервале (-1, 0) график функции f(x) выпукл вниз.
Для интервала (0, 1):
f''(0.5) = 12(0.5)^2 - 4 = 3 - 4 = -1, что отрицательное значение.
Таким образом, на интервале (0, 1) график функции f(x) выпукл вниз.
Для интервала (1, +∞):
f''(2) = 12(2)^2 - 4 = 48 - 4 = 44, что положительное значение.
Таким образом, на интервале (1, +∞) график функции f(x) вогнут вверх.
Итак, график функции f(x) вогнут вверх на интервалах (-∞, -1) и (1, +∞), и выпукл вниз на интервалах (-1, 0) и (0, 1).
а) Для нахождения точек экстремума функции необходимо найти значения x, при которых производная функции равна нулю или не существует. Для нашей функции f(x) нужно найти значения x такие, что f'(x) = 0 или f'(x) не существует.
Сначала найдем производную функции f'(x). Чтобы найти производную квадратичной функции, умножим каждую степень x на соответствующий коэффициент и уменьшим степень на 1: f'(x) = 4x^3 - 4x.
Теперь решим уравнение f'(x) = 0:
4x^3 - 4x = 0
Вынесем общий множитель:
4x(x^2 - 1) = 0
Теперь найдем значения x:
- 4x = 0 или x^2 - 1 = 0
Отсюда получаем два уравнения:
1) -4x = 0, решением является x = 0.
2) x^2 - 1 = 0. Решим это квадратное уравнение:
x^2 = 1
x = ±1
Итак, точки экстремума функции f(x) равны x = -1, x = 0 и x = 1.
б) Чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции, нужно проанализировать знак производной f'(x) на разных интервалах. Для этого выберем точки между точками экстремума и точки, где производная не существует, и подставим их в f'(x).
Выберем, например, интервалы (-∞, -1), (-1, 0), (0, 1) и (1, +∞).
Для интервала (-∞, -1):
f'(-2) = 4(-2)^3 - 4(-2) = -32 - (-8) = -24, что отрицательное значение.
Таким образом, на интервале (-∞, -1) функция f(x) убывает.
Для интервала (-1, 0):
f'(-0.5) = 4(-0.5)^3 - 4(-0.5) = -0.5 + 2 = 1.5, что положительное значение.
Таким образом, на интервале (-1, 0) функция f(x) возрастает.
Для интервала (0, 1):
f'(0.5) = 4(0.5)^3 - 4(0.5) = 0.5 - 2 = -1.5, что отрицательное значение.
Таким образом, на интервале (0, 1) функция f(x) убывает.
Для интервала (1, +∞):
f'(2) = 4(2)^3 - 4(2) = 32 - 8 = 24, что положительное значение.
Таким образом, на интервале (1, +∞) функция f(x) возрастает.
Итак, промежутки возрастания функции f(x) - это (-1, 0) и (1, +∞), а промежутки убывания - это (-∞, -1) и (0, 1).
в) Чтобы вычислить вторую производную функции f(x), нужно найти производную от производной f'(x). Выполняем действия:
f''(x) = (4x^3 - 4x)' = 12x^2 - 4.
г) Чтобы определить выпуклость и вогнутость графика функции, нужно проанализировать знак второй производной f''(x) на разных интервалах.
Для интервала (-∞, -1):
f''(-2) = 12(-2)^2 - 4 = 48 - 4 = 44, что положительное значение.
Таким образом, на интервале (-∞, -1) график функции f(x) вогнут вверх.
Для интервала (-1, 0):
f''(-0.5) = 12(-0.5)^2 - 4 = 3 - 4 = -1, что отрицательное значение.
Таким образом, на интервале (-1, 0) график функции f(x) выпукл вниз.
Для интервала (0, 1):
f''(0.5) = 12(0.5)^2 - 4 = 3 - 4 = -1, что отрицательное значение.
Таким образом, на интервале (0, 1) график функции f(x) выпукл вниз.
Для интервала (1, +∞):
f''(2) = 12(2)^2 - 4 = 48 - 4 = 44, что положительное значение.
Таким образом, на интервале (1, +∞) график функции f(x) вогнут вверх.
Итак, график функции f(x) вогнут вверх на интервалах (-∞, -1) и (1, +∞), и выпукл вниз на интервалах (-1, 0) и (0, 1).