Функцию вида y=ax, где а>0, a≠1, х – любое число, называют показательной функцией.Область определения показательной функции: D (y)=R – множество всех действительных чисел.Область значений показательной функции: E (y)=R+ - множество всех положительных чисел.Показательная функция y=ax возрастает при a>1.Показательная функция y=ax убывает при 0<a<1.
Справедливы все свойства степенной функции:
а0=1 Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице. а1=а Любое число в первой степени равно самому себе. ax∙ay=ax+y При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а показатели складывают. ax:ay=ax- y При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.(ax)y=axy При возведении степени в степень основание оставляют прежним, а показатели перемножают (a∙b)x=ax∙by При возведении произведения в степень возводят в эту степень каждый из множителей.(a/b)x=ax/by При возведении дроби в степень возводят в эту степень и числитель и знаменатель дроби. а-х=1/ax (a/b)-x=(b/a)x.
Примеры.
1) Построить график функции y=2x. Найдем значения функции
при х=0, х=±1, х=±2, х=±3.
x=0, y=20=1; Точка А.
x=1, y=21=2; Точка В.
x=2, y=22=4; Точка С.
x=3, y=23=8; Точка D.
x=-1, y=2-1=1/2=0,5; Точка K.
x=-2, y=2-2=1/4=0,25; Точка M.
x=-3, y=2-3=1/8=0,125; Точка N.
Большему значению аргумента х соответствует и большее значение функции у. Функция y=2xвозрастает на всей области определения D (y)=R, так как основание функции 2>1.
2) Построить график функции y=(1/2)x. Найдем значения функции
при х=0, х=±1, х=±2, х=±3.
x=0, y=(½)0=1; Точка A.
x=1, y=(½)1=½=0,5; Точка B.
x=2, y=(½)2=¼=0,25; Точка C.
x=3, y=(½)3=1/8=0,125; Точка D.
x=-1, y=(½)-1=21=2; Точка K.
x=-2, y=(½)-2=22=4; Точка M.
x=-3, y=(½)-3=23=8; Точка N.
Большему значению аргумента х соответствует меньшее значение функции y. Функция y=(1/2)x убывает на всей своей области определения: D (y)=R, так как основание функции 0<(1/2)<1.
3) В одной координатной плоскости построить графики функций:
y=2x, y=3x, y=5x, y=10x. Сделать выводы.
График функции у=2х мы уже строили, графики остальных функций строим аналогично, причем, достаточно будет найти значения функций прих=0 и при х=±1.
Переменная х может принимать любое значение (D (y)=R), при этом значение у всегда будет больше нуля (E (y)=R+).
Графики всех данных функций пересекают ось Оу в точке (0; 1), так как любое число в нулевой степени равно единице; с осью Ох графики не пересекаются, так как положительное число в любой степени не может быть равным нулю. Чем больше основание а (если a>1) показательной функции у=ах, тем ближе расположена кривая к оси Оу.
Все данные функции являются возрастающими, так как большему значению аргумента соответствует и большее значение функции.
4) В одной координатной плоскости построить графики функций:
y=(1/2)x, y=(1/3)x, y=(1/5)x, y=(1/10)x. Сделать выводы.
Смотрите построение графика функции y=(1/2)xвыше, графики остальных функций строим аналогично, вычислив их значения при х=0 и при х=±1.
Переменная х может принимать любое значение: D (y)=R, при этом область значений функции: E (y)=R+.
Графики всех данных функций пересекают ось Оу в точке (0; 1), так как любое число в нулевой степени равно единице; с осью Ох графики не пересекаются, так как положительное число в любой степени не может быть равным нулю.
Чем меньше основание а (при 0<a<1) показательной функции у=ах, тем ближе расположена кривая к оси Оу.
Все эти функции являются убывающими, так как большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
Решить графически уравнения:
1) 3x=4-x.
В одной координатной плоскости построим графики функций: у=3х и у=4-х.
Графики пересеклись в точке А(1; 3).
ответ: 1.
2) 0,5х=х+3.

В одной координатной плоскости строим графики функций: у=0,5х
(y=(1/2)x )
и у=х+3.
Графики пересеклись в точке В(-1; 2).
ответ: -1.
Найти область значений функции: 1) y=-2x; 2) y=(1/3)x+1; 3) y=3x+1-5.
Решение.
1) y=-2x
Область значений показательной функции y=2x – все положительные числа, т.е.
0<2x<+∞. Значит, умножая каждую часть двойного неравенства на (-1), получаем:
— ∞<-2x<0.
ответ: Е(у)=(-∞; 0).
2) y=(1/3)x+1;
0<(1/3)x<+∞, тогда, прибавляя ко всем частям двойного неравенства число 1, получаем:
0+1<(1/3)x+1<+∞+1;
1<(1/3)x+1<+∞.
ответ: Е(у)=(1; +∞).
3) y=3x+1-5.
Запишем функцию в виде: у=3х∙3-5.
0<3x<+∞; умножаем все части двойного неравенства на 3:
0∙3<3x∙3<(+∞)∙3;
0<3x∙3<+∞; из всех частей двойного неравенства вычитаем 5:
Б)Дано линейное уравнение: 4*(1-x) = 3*(2*x+3) Раскрываем скобочки в левой части ур-ния 4*1-4*x = 3*(2*x+3) Раскрываем скобочки в правой части ур-ния 4*1-4*x = 3*2*x+3*3 Переносим свободные слагаемые (без x) из левой части в правую, получим: -4*x = 5 + 6*x Переносим слагаемые с неизвестным x из правой части в левую: -10*x = 5 Разделим обе части ур-ния на -10 x = 5 / (-10) Получим ответ: x = -1/2 = -0.5 в) Дано линейное уравнение: 12*x-(7-3*x) = 4*x Раскрываем скобочки в левой части ур-ния 12*x-7+3*x = 4*x Приводим подобные слагаемые в левой части ур-ния: -7 + 15*x = 4*x Переносим свободные слагаемые (без x) из левой части в правую, получим: 15 x = 4 x + 7 Переносим слагаемые с неизвестным x из правой части в левую: 11 x = 7 Разделим обе части ур-ния на 11 x = 7 / (11) Получим ответ: x = 7/11 г) Дано линейное уравнение: 8*x+3 = 1-(2*x+4) Раскрываем скобочки в правой части ур-ния 8*x+3 = 1-2*x-4 Приводим подобные слагаемые в правой части ур-ния: 3 + 8*x = -3 - 2*x Переносим свободные слагаемые (без x) из левой части в правую, получим: 8*x = -6 - 2*x Переносим слагаемые с неизвестным x из правой части в левую: 10 x = -6 Разделим обе части ур-ния на 10 x = -6 / (10) Получим ответ: x = -3/5
Справедливы все свойства степенной функции:
а0=1 Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице. а1=а Любое число в первой степени равно самому себе. ax∙ay=ax+y При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а показатели складывают. ax:ay=ax- y При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.(ax)y=axy При возведении степени в степень основание оставляют прежним, а показатели перемножают (a∙b)x=ax∙by При возведении произведения в степень возводят в эту степень каждый из множителей.(a/b)x=ax/by При возведении дроби в степень возводят в эту степень и числитель и знаменатель дроби. а-х=1/ax (a/b)-x=(b/a)x.
Примеры.
1) Построить график функции y=2x. Найдем значения функции
при х=0, х=±1, х=±2, х=±3.
x=0, y=20=1; Точка А.
x=1, y=21=2; Точка В.
x=2, y=22=4; Точка С.
x=3, y=23=8; Точка D.
x=-1, y=2-1=1/2=0,5; Точка K.
x=-2, y=2-2=1/4=0,25; Точка M.
x=-3, y=2-3=1/8=0,125; Точка N.
Большему значению аргумента х соответствует и большее значение функции у. Функция y=2xвозрастает на всей области определения D (y)=R, так как основание функции 2>1.
2) Построить график функции y=(1/2)x. Найдем значения функции
при х=0, х=±1, х=±2, х=±3.
x=0, y=(½)0=1; Точка A.
x=1, y=(½)1=½=0,5; Точка B.
x=2, y=(½)2=¼=0,25; Точка C.
x=3, y=(½)3=1/8=0,125; Точка D.
x=-1, y=(½)-1=21=2; Точка K.
x=-2, y=(½)-2=22=4; Точка M.
x=-3, y=(½)-3=23=8; Точка N.
Большему значению аргумента х соответствует меньшее значение функции y. Функция y=(1/2)x убывает на всей своей области определения: D (y)=R, так как основание функции 0<(1/2)<1.
3) В одной координатной плоскости построить графики функций:
y=2x, y=3x, y=5x, y=10x. Сделать выводы.
График функции у=2х мы уже строили, графики остальных функций строим аналогично, причем, достаточно будет найти значения функций прих=0 и при х=±1.
Переменная х может принимать любое значение (D (y)=R), при этом значение у всегда будет больше нуля (E (y)=R+).
Графики всех данных функций пересекают ось Оу в точке (0; 1), так как любое число в нулевой степени равно единице; с осью Ох графики не пересекаются, так как положительное число в любой степени не может быть равным нулю. Чем больше основание а (если a>1) показательной функции у=ах, тем ближе расположена кривая к оси Оу.
Все данные функции являются возрастающими, так как большему значению аргумента соответствует и большее значение функции.
4) В одной координатной плоскости построить графики функций:
y=(1/2)x, y=(1/3)x, y=(1/5)x, y=(1/10)x. Сделать выводы.
Смотрите построение графика функции y=(1/2)xвыше, графики остальных функций строим аналогично, вычислив их значения при х=0 и при х=±1.
Переменная х может принимать любое значение: D (y)=R, при этом область значений функции: E (y)=R+.
Графики всех данных функций пересекают ось Оу в точке (0; 1), так как любое число в нулевой степени равно единице; с осью Ох графики не пересекаются, так как положительное число в любой степени не может быть равным нулю.
Чем меньше основание а (при 0<a<1) показательной функции у=ах, тем ближе расположена кривая к оси Оу.
Все эти функции являются убывающими, так как большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
Решить графически уравнения:
1) 3x=4-x.
В одной координатной плоскости построим графики функций: у=3х и у=4-х.
Графики пересеклись в точке А(1; 3).
ответ: 1.
2) 0,5х=х+3.

В одной координатной плоскости строим графики функций: у=0,5х
(y=(1/2)x )
и у=х+3.
Графики пересеклись в точке В(-1; 2).
ответ: -1.
Найти область значений функции: 1) y=-2x; 2) y=(1/3)x+1; 3) y=3x+1-5.
Решение.
1) y=-2x
Область значений показательной функции y=2x – все положительные числа, т.е.
0<2x<+∞. Значит, умножая каждую часть двойного неравенства на (-1), получаем:
— ∞<-2x<0.
ответ: Е(у)=(-∞; 0).
2) y=(1/3)x+1;
0<(1/3)x<+∞, тогда, прибавляя ко всем частям двойного неравенства число 1, получаем:
0+1<(1/3)x+1<+∞+1;
1<(1/3)x+1<+∞.
ответ: Е(у)=(1; +∞).
3) y=3x+1-5.
Запишем функцию в виде: у=3х∙3-5.
0<3x<+∞; умножаем все части двойного неравенства на 3:
0∙3<3x∙3<(+∞)∙3;
0<3x∙3<+∞; из всех частей двойного неравенства вычитаем 5:
0-5<3x∙3-5<+∞-5;
— 5<3x∙3-5<+∞.
ответ: Е(у)=(-5; +∞).
Б)Дано линейное уравнение:
4*(1-x) = 3*(2*x+3)
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния
4*1-4*x = 3*(2*x+3)
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния
4*1-4*x = 3*2*x+3*3
Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
-4*x = 5 + 6*x
Переносим слагаемые с неизвестным x
из правой части в левую:
-10*x = 5
Разделим обе части ур-ния на -10
x = 5 / (-10)
Получим ответ: x = -1/2 = -0.5
в) Дано линейное уравнение:
12*x-(7-3*x) = 4*x
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния
12*x-7+3*x = 4*x
Приводим подобные слагаемые в левой части ур-ния:
-7 + 15*x = 4*x
Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
15 x = 4 x + 7
Переносим слагаемые с неизвестным x
из правой части в левую:
11 x = 7
Разделим обе части ур-ния на 11
x = 7 / (11)
Получим ответ: x = 7/11
г) Дано линейное уравнение:
8*x+3 = 1-(2*x+4)
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния
8*x+3 = 1-2*x-4
Приводим подобные слагаемые в правой части ур-ния:
3 + 8*x = -3 - 2*x
Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
8*x = -6 - 2*x
Переносим слагаемые с неизвестным x
из правой части в левую:
10 x = -6
Разделим обе части ур-ния на 10
x = -6 / (10)
Получим ответ: x = -3/5