Дана функция y=4−x2. Построй график функции y=4−x2.
a) Координаты вершины параболы: (
;
)
(в пунктах б), в) и г) вместо −∞, пиши «−Б»; вместо +∞, пиши «+Б»).
б) При каких значениях аргумента значения функции положительны?
(
;
).
в) При каких значениях аргумента функция возрастает?
(
;
].
г) При каких значениях аргумента функция убывает?
[
;
)
(Сравни свой график с представленным в шагах решения).
Чтобы построить график, мы можем использовать таблицу значений. Найдем несколько значений для x и вычислим соответствующие значения y.
Выберем значения x: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 и вычислим значения y.
Когда x = -3, y = 4 - (-3)^2 = 4 - 9 = -5
Когда x = -2, y = 4 - (-2)^2 = 4 - 4 = 0
Когда x = -1, y = 4 - (-1)^2 = 4 - 1 = 3
Когда x = 0, y = 4 - 0^2 = 4 - 0 = 4
Когда x = 1, y = 4 - 1^2 = 4 - 1 = 3
Когда x = 2, y = 4 - 2^2 = 4 - 4 = 0
Когда x = 3, y = 4 - 3^2 = 4 - 9 = -5
Теперь построим график, отметив все найденные значения на координатной плоскости:
```
(3, -5) (2, 0) (1, 3) (0, 4) (-1, 3) (-2, 0) (-3, -5)
```
График будет выглядеть как парабола, открытая вниз.
Теперь приступим к ответу на вопросы:
a) Координаты вершины параболы: (0, 4)
Обоснование: Вершина параболы всегда имеет координаты (h, k), где h - это абсцисса вершины, а k - ордината вершины. У нас дана функция вида y = a - x^2, где а = 4. Понимаем, что парабола открыта вниз, а значит, а будет ординатой вершины. Затем мы замечаем, что функция y = 0 - x^2 является результатом смещения параболы вниз на 4 единицы. Таким образом, координаты вершины параболы будут (0, 4).
б) При каких значениях аргумента значения функции положительны?
Ответ: (-∞, -2) и (2, +∞)
Обоснование: Мы знаем, что функция y = 4−x^2 построена как парабола, открытая вниз. Значит, она будет положительна вне области парный организованной плоскости, то есть при значении аргумента меньше -2 и больше 2.
в) При каких значениях аргумента функция возрастает?
Ответ: (-∞, 0)
Обоснование: Функция возрастает, если ее производная положительна. Дифференцируя функцию y = 4−x^2, получаем y' = -2x. Уравновешивая это выражение, мы получаем, что y' > 0 при x < 0. Значит, функция возрастает при значениях аргумента меньше 0.
г) При каких значениях аргумента функция убывает?
Ответ: (0, +∞)
Обоснование: Функция убывает, если ее производная отрицательна. Дифференцируя функцию y = 4−x^2, получаем y' = -2x. Уравновешивая это выражение, мы получаем, что y' < 0 при x > 0. Значит, функция убывает при значениях аргумента больше 0.