Бино́м Нью́то́на — формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных, имеющая вид
( a + b ) n = ∑ k = 0 n ( n k ) a n − k b k = ( n 0 ) a n + ( n 1 ) a n − 1 b + ⋯ + ( n k ) a n − k b k + ⋯ + ( n n ) b n (a+b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n - k} b^k = {n\choose 0}a^n + {n\choose 1}a^{n - 1}b + \dots + {n\choose k}a^{n - k}b^k + \dots + {n\choose n}b^n где ( n k ) = n ! k ! ( n − k ) ! = C n k {n\choose k}=\frac{n!}{k!(n - k)!}= C_n^k — биномиальные коэффициенты, n n — неотрицательное целое число.
В таком виде эта формула была известна ещё индийским и персидским математикам; Ньютон вывел формулу бинома Ньютона для более общего случая, когда показатель степени — произвольное действительное (или даже комплексное) число.
4) Уравнение плоскости АВС по трём точкам можно определить так:
Пусть (х1, х2, х3), (у1, у2, у3) и (z1, z2, z3) – координаты первой, второй и третьей точек соответственно.
Тогда уравнение определяется из этого выражения: (x-x1)*(у2-y1)*(z3-z1) – (x-x1)*(z2-z1)*(y3-y1) – (y-y1)*(x2-x1)*(z3-z1) + (y-y1)*(z2-z1)*(x3-x1) + (z-z1)*(x2-x1)*(y3-y1) – (z-z1)*(y2-y1)*(x3-x1) = 0.
Подставив координаты точек, после приведения подобных и сокращения, получим: АВС: 2x - 3y +z + 1 = 0.
(
a
+
b
)
n
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
a
n
−
k
b
k
=
(
n
0
)
a
n
+
(
n
1
)
a
n
−
1
b
+
⋯
+
(
n
k
)
a
n
−
k
b
k
+
⋯
+
(
n
n
)
b
n
(a+b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n - k} b^k = {n\choose 0}a^n + {n\choose 1}a^{n - 1}b + \dots + {n\choose k}a^{n - k}b^k + \dots + {n\choose n}b^n
где
(
n
k
)
=
n
!
k
!
(
n
−
k
)
!
=
C
n
k
{n\choose k}=\frac{n!}{k!(n - k)!}= C_n^k — биномиальные коэффициенты,
n
n — неотрицательное целое число.
В таком виде эта формула была известна ещё индийским и персидским математикам; Ньютон вывел формулу бинома Ньютона для более общего случая, когда показатель степени — произвольное действительное (или даже комплексное) число.
Так как решения для разных вариантов аналогичны, то даём ответ на вариант 1.
Даны вершины пирамиды:
А(1; 3; 6), В(2; 2; 1), С(-1; 0; 1) и Д(-4; 6; 3).
Находим векторы из вершины А.
АВ(1; -1; -5), АС(-2; -3; -5), АД(-5; 3; -9).
1) Векторное произведение АВ х АС =
х у z x y 5x + 10y - 3z + 5y -15x - 2z =
1 -1 -5 1 -1 = -10x + 15y - 5x.
-2 -3 -5 -2 -3 АВ х АС = (-10; 15; -5).
Скалярное произведение (АВ х АС) * АД = 50 + 45 + 45 = 140.
Объём равен (1/6)*140 = 70/3.
2) 1) Векторное произведение АВ х АД =
х у z x y 9x + 25y + 3z + 9y + 15x - 5z =
1 -1 -5 1 -1 = 24x + 34y - 2z.
-5 3 -9 -5 3 АВ х АД = (24; 34; -2).
Модуль произведения равен √(576 + 1156 + 4) =√1736 = 2√434.
Площадь грани АВД = (1/2)*2√434 = √434 ≈ 20,83267.
3) cos(AC_AD) = (-2*-5 + -3*3 6 + -5*-9)/(√38*√115) = 46/√4370 =
= 0,695852.
Угол (AC_AD) = arc cos (46/√4370) = 45,90482°.
4) Уравнение плоскости АВС по трём точкам можно определить так:
Пусть (х1, х2, х3), (у1, у2, у3) и (z1, z2, z3) – координаты первой, второй и третьей точек соответственно.
Тогда уравнение определяется из этого выражения: (x-x1)*(у2-y1)*(z3-z1) – (x-x1)*(z2-z1)*(y3-y1) – (y-y1)*(x2-x1)*(z3-z1) + (y-y1)*(z2-z1)*(x3-x1) + (z-z1)*(x2-x1)*(y3-y1) – (z-z1)*(y2-y1)*(x3-x1) = 0.
Подставив координаты точек, после приведения подобных и сокращения, получим: АВС: 2x - 3y +z + 1 = 0.
5) Уравнение АВ: (x - 1)/1 = (y - 3)/-1 = (z - 6)/-5.
6) Угол между прямой AD и плоскостью АВС:
Направляющий вектор прямой имеет вид: l m n Скалярное произведение 125
s = {l; m; n} -5 2 -9 Модуль =√110 = 10,48808848.
Вектор нормали плоскости имеет вид: A B C
Ax + By + Cz + D = 0 -10 15 -5
Модуль равен 18,70828693
100 225 25 350
sin fi = 0,637058989
fi = 0,690676766 радиан = 39,57286369 градус