Денис и Коля получили одинаковый комплект задач на кружке. Известно, что оба мальчика каждую задачу приходили сдавать 2 , 3 или 5 раз. У преподавателя отмечено, что Денис приходил сдавать задачи 93 раз(-а), а Коля — 41 раз(-а). Могло ли такое быть? Если да, сколько задач было на кружке? ( начисляются только за полностью верный ответ!)
ответ:
23
Нет, такого быть не могло
22
18
19
20
21
P(5) = 32
Объяснение:
Многочлен 4 степени записывается так:
P(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e
В условии нам даны значения:
P(1) = a*1^4 + b*1^3 + c*1^2 + d*1 + e = a + b + c + d + e = 0
P(2) = a*2^4 + b*2^3 + c*2^2 + d*2 + e = 16a + 8b + 4c + 2d + e = 8
P(4) = a*4^4 + b*4^3 + c*4^2 + d*4 + e = 256a + 64b + 16c + 4d + e = 0
Кроме того, нам известно, что этот многочлен при любом x принимает значения P(x) >= 0.
Это значит, что в точках x = 1 и x = 4 он имеет минимумы, равные 0.
Берем производную P'(x):
P'(x) = 4x^3 + 3bx^2 + 2cx + d
Мы знаем, что она равна 0 при x = 1 и при x = 4:
P'(1) = 4a*1^3 + 3b*1^2 + 2c*1 + d = 4a + 3b + 2c + d = 0
P'(4) = 4a*4^3 + 3b*4^2 + 2c*4 + d = 256a + 48b + 8c + d = 0
Получили систему 5 линейных уравнений с 5 неизвестными.
{ a + b + c + d + e = 0 (1)
{ 16a + 8b + 4c + 2d + e = 8 (2)
{ 256a + 64b + 16c + 4d + e = 0 (3)
{ 4a + 3b + 2c + d = 0 (4)
{ 256a + 48b + 8c + d = 0 (5)
Умножаем (1) на -16 и складываем с (2).
Умножаем (1) на -256 и складываем с (3).
Умножаем (1) на -4 и складываем с (4).
Умножаем (1) на -256 и складываем с (5).
{ a + b + c + d + e = 0 (1)
{ 0a - 8b - 12c - 14d - 15e = 8 (2)
{ 0a - 192b - 240c - 252d - 255e = 0 (3)
{ 0a - b - 2c - 3d - 4e = 0 (4)
{ 0a - 208b - 248c - 255d - 256e = 0 (5)
Теперь (4) делим на -1, а (3) делим на 3.
И перепишем уравнения немного в другом порядке:
{ a + b + c + d + e = 0 (1)
{ 0a + b + 2c + 3d + 4e = 0 (4)
{ 0a - 8b - 12c - 14d - 15e = 8 (2)
{ 0a - 64b - 80c - 84d - 85e = 0 (3)
{ 0a - 208b - 248c - 255d - 256e = 0 (5)
Умножаем (4) на 8 и складываем с (2).
Умножаем (4) на 64 и складываем с (3).
Умножаем (4) на 208 и складываем с (5).
{ a + b + c + d + e = 0 (1)
{ 0a + b + 2c + 3d + 4e = 0 (4)
{ 0a + 0b + 4c + 10d + 17e = 8 (2)
{ 0a + 0b + 48c + 108d + 171e = 0 (3)
{ 0a + 0b + 168c + 369d + 576e = 0 (5)
Делим (5) на 3:
{ a + b + c + d + e = 0 (1)
{ 0a + b + 2c + 3d + 4e = 0 (4)
{ 0a + 0b + 4c + 10d + 17e = 8 (2)
{ 0a + 0b + 48c + 108d + 171e = 0 (3)
{ 0a + 0b + 56c + 123d + 192e = 0 (5)
Умножаем (2) на -12, а (3) оставляем, как есть:
{ 0a + 0b - 48c - 120d - 204e = -96
{ 0a + 0b + 48c + 108d + 171e = 0
И складываем эти уравнения:
0a + 0b + 0c - 12d - 33e = -96 (3)
Умножаем (2) на -14, а (5) оставляем, как есть:
{ 0a + 0b - 56c - 140d - 238e = -112 (2)
{ 0a + 0b + 56c + 123d + 192e = 0 (5)
И складываем эти уравнения:
0a + 0b + 0c - 17d - 46e = -112 (5)
Собираем все уравнения обратно в систему и перенумеруем их:
{ a + b + c + d + e = 0 (1)
{ 0a + b + 2c + 3d + 4e = 0 (2)
{ 0a + 0b + 4c + 10d + 17e = 3 (3)
{ 0a + 0b + 0c - 12d - 33e = -96 (4)
{ 0a + 0b + 0c - 17d - 46e = -112 (5)
Последний шаг. Умножаем (4) на -17, а (5) умножаем на 12:
{ a + b + c + d + e = 0 (1)
{ 0a + b + 2c + 3d + 4e = 0 (2)
{ 0a + 0b + 4c + 10d + 17e = 3 (3)
{ 0a + 0b + 0c + 204d + 561e = 1632 (4)
{ 0a + 0b + 0c - 204d - 552e = -1344 (5)
И складываем (4) и (5):
9e = 288
e = 288 : 9 = 32
Подставляем в (4):
0a + 0b + 0c - 12d - 33*32 = -96 (4)
-12d = 33*32 - 96 = 960
d = -960/12 = -80
Подставляем в (3):
0a + 0b + 4c + 10(-80) + 17*32 = 8 (3)
4с = 80*10 - 17*32 + 8 = 800 - 544 + 8 = 264
c = 264/4 = 66
Подставляем в (2):
0a + b + 2*66 + 3(-80) + 4*32 = 0 (2)
b = -132 + 240 - 128 = -20
Подставляем в (1):
a - 20 + 66 - 80 + 32 = 0 (1)
a = 20 - 66 + 80 - 32 = 2
Итак, мы получили коэффициенты этого многочлена:
P(x) = 2x^4 - 20x^3 + 66x^2 - 80x + 32
И, наконец-то, находим P(5):
P(5) = 2*5^4 - 20*5^3 + 66*5^2 - 80*5 + 32 =
= 2*625 - 20*125 + 66*25 - 400 + 32 =
= 1250 - 2500 + 1650 - 400 + 32 = 32
График этого многочлена на рисунке.
Пусть х - скорость второго туриста, тогда скорость первого туриста = х + 1
время пути первого туриста = S/v = 20/(x+1)
время пути второго туриста = S/v = 20/x
известно, что первый приходит на час раньше второго, тогда:
время второго + час = время первого
20/(x + 1) + 1 = 20/x (одз: х не равно 0; х не равно - 1)
20/(х + 1) + (х + 1)/(х + 1) = 20/х
(х + 21)/(х + 1) = 20/х
20(х + 1) = х(х + 21)
20х + 20 = х² + 21х
х² + х - 20 = 0
D = 1² + 4×20 = 81 = 9²
х1 = (-1 + 9)/2 = 4 км/ч - скорость второго
х2 = (-1 - 9)/2 = -5 - не подходит по смыслу задачи
х1 + 1 = 5 км/ч - скорость первого
ответ: 4 км/ч; 5 км/ч