Дифференциальное уравнение у^3 y" + 4(y')^2 = y-1 заменой р=р(у) =y' приводится к виду
1)у^3 p' p+4p^2= y - 1
2)y^3 p' p^2 + 4p^2 = y - 1
3) x^3 p'p + 4y^2 = x-1
4)y^3 p' + 4p^2 = y - 1

Для поиска корней всех уравнений пользуйся формулой дискриминанта:
ax^2 + bx +с =0
D= b^2 -4ac.
x1,2=(-b+-корень из D)/(2а).
Получаем:
x^2-3x+2 = 0
D=9-8=1, корень из D= 1.
x1 = (3+1)/2= 2
x2 = (3-1)/2 = 1
x^2 -3x -2 =0
D=9+8 = 17, корень из D= корень из 17 (буду писать кор17).
x1=(3+кор17)/2
x2 = (3-кор17)/2
X^2+x-12=0
D=1+48 = 49, корD=7
x1 = (-1+7)/2=3
x2 = (-1-7)/2 = -4
x^2-2x-35 = 0
D=4+140=144, корD=12
x1 =(2+12)/2=7
x2=(2-12)/2=-5
x^2+5x-4 = 0
D=25+16=41, корD=кор41
x1=(-5+кор41)/2
x2= (-5-кор41)/2
X^2+5x-36=0
D=25+144=169, корD=13
x1 = (-5+13)/2 = 4
x2 = (-5-13)/2 = -9

Решение
1.Знайти похідну функції:f(x)=1|4 x^8-8
f`(x) = 8 * (1/4)x⁸⁻¹ - 0 = 2x⁷
2.Обчисліть похідну в точці х0:
а)f(x)=2x²-4√x, x0=4
f`(x) = 4x - 4 / (2√x) = 4x - 2/√x
f`(4) = 4*4* - 2 / √4 = 16 - 1 = 15
Відповіді:а)16 б)7 в)15 г)14
б)f(x)=2•(3^x),x0= 2
f`(x) = [2*(3^x)]` = 2 * (3^x)*ln3 
f`(- 2) = 2 * (3^(2))*ln3 = 18ln3
Відповіді: а)181n3 б)361n3 в)18 г)91n3
3.Точка рухається за законом S(t)=2t³- 1|2 t²+3t.Знайдіть миттєву швидкість точки в момент t=3c(s-в метрах).
v(t) =  (2t³- (1/2) t²+3t)` = 6t² - t + 3
v(3) = 6*9 -  3 + 3 = 54 (м/с)
4.Знайдіть кут нахилу дотичної до графіка функції у=х³+2х²+1 в точці х0=-1 з віссю абсцис.
y` = 3x² + 4x
y`(-1) = 3 - 4 = - 1
tgα = - 1
α = - π/4 = 135°
5.Знайди похідну функції:
а) у=-2х sin x;
y` = - 2sinx - 2xcosx
б) у=2х-3х²;
y` = 2 - 6x
в) у=2(3х5-х)^6.
y` = 12(3x⁵ - x)⁵ * (15x⁴ - 1)