В
Все
М
Математика
О
ОБЖ
У
Українська мова
Д
Другие предметы
Х
Химия
М
Музыка
Н
Немецкий язык
Б
Беларуская мова
Э
Экономика
Ф
Физика
Б
Биология
О
Окружающий мир
Р
Русский язык
У
Українська література
Ф
Французский язык
П
Психология
А
Алгебра
О
Обществознание
М
МХК
В
Видео-ответы
Г
География
П
Право
Г
Геометрия
А
Английский язык
И
Информатика
Қ
Қазақ тiлi
Л
Литература
И
История
МаргаритаYTT
МаргаритаYTT
26.12.2021 20:11 •  Алгебра

Для каждого неравенста укажите множество его решений ЭТО СОР​

Показать ответ
Ответ:
Неизвестная002
Неизвестная002
13.05.2020 13:21

Квадратное уравнение и его корни. Неполные квадратные уравнения

Каждое из уравнений

x

2

+

6

x

+

1

,

4

=

0

,

8

x

2

7

x

=

0

,

x

2

4

9

=

0

имеет вид

a

x

2

+

b

x

+

c

=

0

,

где x - переменная, a, b и c - числа.

В первом уравнении a = -1, b = 6 и c = 1,4, во втором a = 8, b = —7 и c = 0, в третьем a = 1, b = 0 и c = 4/9. Такие уравнения называют квадратными уравнениями.

Определение.

Квадратным уравнением называется уравнение вида ax2+bx+c=0, где x - переменная, a, b и c - некоторые числа, причём

a

0

.

Числа a, b и c — коэффициенты квадратного уравнения. Число a называют первым коэффициентом, число b — вторым коэффициентом и число c — свободным членом.

В каждом из уравнений вида ax2+bx+c=0, где

a

0

, наибольшая степень переменной x — квадрат. Отсюда и название: квадратное уравнение.

Заметим, что квадратное уравнение называют ещё уравнением второй степени, так как его левая часть есть многочлен второй степени.

Квадратное уравнение, в котором коэффициент при x2 равен 1, называют приведённым квадратным уравнением. Например, приведёнными квадратными уравнениями являются уравнения

x

2

11

x

+

30

=

0

,

x

2

6

x

=

0

,

x

2

8

=

0

Если в квадратном уравнении ax2+bx+c=0 хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением. Так, уравнения -2x2+7=0, 3x2-10x=0, -4x2=0 - неполные квадратные уравнения. В первом из них b=0, во втором c=0, в третьем b=0 и c=0.

Неполные квадратные уравнения бывают трёх видов:

1) ax2+c=0, где

c

0

;

2) ax2+bx=0, где

b

0

;

3) ax2=0.

Рассмотрим решение уравнений каждого из этих видов.

Для решения неполного квадратного уравнения вида ax2+c=0 при

c

0

переносят его свободный член в правую часть и делят обе части уравнения на a:

x

2

=

c

a

x

1

,

2

=

±

c

a

Так как

c

0

, то

c

a

0

Если

c

a

>

0

, то уравнение имеет два корня.

Если

c

a

<

0

, то уравнение не имеет корней (квадратный корень из отрицательного числа извлекать нельзя).

Для решения неполного квадратного уравнения вида ax2+bx=0 при

b

0

раскладывают его левую часть на множители и получают уравнение

x

(

a

x

+

b

)

=

0

{

x

=

0

a

x

+

b

=

0

{

x

=

0

x

=

b

a

Значит, неполное квадратное уравнение вида ax2+bx=0 при

b

0

всегда имеет два корня.

Неполное квадратное уравнение вида ax2=0 равносильно уравнению x2=0 и поэтому имеет единственный корень 0.

Формула корней квадратного уравнения

Рассмотрим теперь, как решают квадратные уравнения, в которых оба коэффициента при неизвестных и свободный член отличны от нуля.

Решим квадратне уравнение в общем виде и в результате получим формулу корней. Затем эту формулу можно будет применять при решении любого квадратного уравнения.

Решим квадратное уравнение ax2+bx+c=0

Разделив обе его части на a, получим равносильное ему приведённое квадратное уравнение

x

2

+

b

a

x

+

c

a

=

0

Преобразуем это уравнение, выделив квадрат двучлена:

x

2

+

2

x

b

2

a

+

(

b

2

a

)

2

(

b

2

a

)

2

+

c

a

=

0

x

2

+

2

x

b

2

a

+

(

b

2

a

)

2

=

(

b

2

a

)

2

c

a

(

x

+

b

2

a

)

2

=

b

2

4

a

2

c

a

(

x

+

b

2

a

)

2

=

b

2

4

a

c

4

a

2

x

+

b

2

a

=

±

b

2

4

a

c

4

a

2

x

=

b

2

a

+

±

b

2

4

a

c

2

a

x

=

b

±

b

2

4

a

c

2

a

Подкоренное выражение называют дискриминантом квадратного уравнения ax2+bx+c=0 («дискриминант» по латыни — различитель). Его обозначают буквой D, т.е.

D

=

b

2

4

a

c

Теперь, используя обозначение дискриминанта, перепишем формулу для корней квадратного уравнения:

x

1

,

2

=

b

±

D

2

a

, где

D

=

b

2

4

a

c

Очевидно, что:

1) Если D>0, то квадратное уравнение имеет два корня.

2) Если D=0, то квадратное уравнение имеет один корень

x

=

b

2

a

.

3) Если D<0, то квадратное уравнение не имеет корней, т.к. извлекать корень из отрицательного числа нельзя.

Таким образом, в зависимости от значения дискриминанта квадратное уравнение может иметь два корня (при D > 0), один корень (при D = 0) или не иметь корней (при D < 0).

При решении квадратного уравнения по данной формуле целесообразно поступать следующим образом:

1) вычислить дискриминант и сравнить его с нулём;

2) если дискриминант положителен или равен нулю, то воспользоваться формулой корней, если дискриминант отрицателен, то записать, что корней нет.

Теорема Виета

Приведённое квадратное уравнение ax2-7x+10=0 имеет корни 2 и 5. Сумма корней равна 7, а произведение равно 10. Мы видим, что сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. Таким свойством обладает любое приведённое квадратное уравнение, имеющее корни.

Сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Т.е. теорема Виета утверждает, что корни x1 и x2 приведённого квадратного уравнения x2+px+q=0 обладают свойством:

{

x

1

+

x

2

=

p

x

1

x

2

=

q

надеюсь правильно

0,0(0 оценок)
Ответ:
Alice111111111111111
Alice111111111111111
13.11.2020 15:53

как найти точки пересечения графика функции с осями координат?

с осью абсцисс график функции может иметь любое количество общих точек (или ни одной). с осью ординат — не более одной (так как по определению функции каждому значению аргумента ставится в соответствие единственное значение функции).

чтобы найти точки пересечения графика функции y=f(x) с осью абсцисс, надо решить уравнение f(x)=0 (то есть найти нули функции).

чтобы найти точку пересечения графика функции с осью ординат, надо в формулу функции вместо каждого x подставить нуль, то есть найти значение функции при x=0: y=f(0).

примеры.

1) найти точки пересечения графика линейной функции y=kx+b с осями координат.

решение:

в точке пересечения графика функции с осью ox y=0:

kx+b=0, => x= -b/k. таким образом, линейная функция пересекает ось абсцисс в точке (-b/k; 0).

в точке пересечения с осью oy x=0:

y=k∙0+b=b. отсюда, точка пересечения графика линейной функции с осью ординат — (0; b).

например, найдём точки пересечения с осями координат графика линейной функции y=2x-10.2x-10=0; x=5. с ox график пересекается в точке (5; 0).

y=2∙0-10=-10. с oy график пересекается в точке (0; -10).

2) найти точки пересечения графика квадратичной функции y=ax²+bx+c с осями координат.

решение:

в точке пересечения графика с осью абсцисс y=0. значит, чтобы найти точки пересечения графика квадратичной функции (параболы) с осью ox, надо решить квадратное уравнение ax²+bx+c=0.

в зависимости от дискриминанта, парабола   пресекает ось абсцисс в одной точке или в двух точках либо не пересекает ox.

в точке пересечения графика с осью oy x=0.

y=a∙0²+b∙0+c=с. следовательно, (0; с) — точка, в которой парабола пересекает ось ординат.

например, найдём точки пересечения с осями координат графика функции y=x²-9x+20.

x²-9x+20=0

x1=4; x2=5. график пересекает ось абсцисс в точках (4; 0) и (5; 0).

y=0²-9∙0+20=20. отсюда, (0; 20) — точка пересечения параболы y=x²-9x+20 с осью ординат.

0,0(0 оценок)
Полный доступ
Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку
logo
Начни делиться знаниями
Вход Регистрация
Что ты хочешь узнать?
Спроси ai-бота