Для положительных чисел a, b и c равенство (a+b)*c = a*c+b*c можно проиллюстрировать с вычисления площади прямоугольника двумя площадь прямоугольника ABCD, а a*c и b*c - площади прямоугольников ABMN и NMCD соответственно. Придумай иллюстрацию равенства (a-b)*c = a*c-b*c для положительных чисел a,b,c (a>b).

 Арифметическая прогрессия

Арифметической прогрессией называется такая последовательность, у которой каждый ее член, начиная со второго, равен предыдущему  члену, сложенному с одним и тем же числом  d,которое называется разностью прогрессии.

Для всех элементов прогрессии, начиная со второго выполнимо равенство:

Если d > 0, то прогрессия является возрастающей. Если d < 0, то прогрессия является убывающей.

Арифметическая прогрессия считается конечной, если рассматриваются только ее первые несколько членов.

 = + d = (+ d) + d =  + 2d,

=  + d = (+ 2d) + d =  + 3d,

  =  + d(n-1) 
=  + d(n-1) - формула n-го члена арифметической прогрессии.(n≥1)

Пример
3,6,9,12,15,18,21,24,27,30 — арифметическая прогрессия из десяти членов с шагом 3.

Свойства

      1.

2.Если шаг d > 0, прогрессия является возрастающей; если d < 0, — убывающей.

3.Любой член арифметической прогрессии, начиная со второго, является средним арифметическим предыдущего и следующего члена прогрессии:
    . 
Обратное также верно, то есть это свойство является признаком арифметической прогрессии.Доказательство:

Обратное аналогично

4.Сумма n первых членов арифметической прогрессии может быть выражена формулами 

Доказательство:Через сумму:

По индукции:

5.Сумма n последовательных членов арифметической прогрессии начиная с члена k: 

6.Пример суммы арифметической прогрессии является сумма ряда натуральных чисел до n включительно: 

Задача 1.При делении девятого члена арифметической прогрессии на второй член в частном получается 5, а при делении тринадцатого члена на шестой член в частном получается 2 и в остатке 5. Найти первый член и разность прогрессии.

Решение:   …,- арифметическая прогрессия

: остаток 5)

Используя формулу n-го члена прогрессии получаем систему уравнений:

       Откуда  4(2d-5)=3d,то 5d=20,то d=4

                       =3

ответ:      d=4

Задача 2. Известно, что при любом n сумма Sn членов некоторой арифметической прогрессии выражается формулой Sn=4n²-3n. Найти три первых члена этой прогрессии.

Решение:

Пусть    n=1 . 

Пусть    n=2 . 

 Так как     ,то

ответ: ,,  

Заметим, что в системе х встречается только во второй степени. Поэтому, если некоторая пара (х; у) - решение системы, то и пара (-х; у) - решение системы. Так как по заданию система должна иметь только одно решение, то необходимо выполнение условия х=-х. Это достигается только при х=0.
Подставляя значение х=0 в систему, получим:

Проверим, удовлетворяют ли значения р=1 и р=-1 условию.
При р=1:


Данный случай не подходит, так как система имеет три решения.
При р=-1:


Данный случай подходит, система действительно имеет одно решение.
Кроме того, можно было построить графики уравнений:
- окружность с центром в точке (0; 0) и радиусом 1
- стандартная парабола ветвями вниз с вершиной в точке
(0; р). Двигая эту параболу вдоль оси ординат, можно убедиться, что единственное пересечение с окружностью происходит лишь при р=-1.
ответ: р=-1