Для спорудження складу місткістю 240метрів2 підготовленого матеріалу для стін загальною довжиною 32 метра і висотою 4 метра які розміри повинен мати склад?
При a = 2 квадратное уравнение вырождается в линейное, а следовательно имеет единственный корень, что не соответствует условию задачи, поэтому 2 – a ≠ 0 и a ≠ 2.
У квадратного уравнения имеется два различных корня тогда и только тогда, когда дискриминант строго больше нуля.
Корнями уравнения a·(17a – 16) = 0 являются числа a₁ = 0 и a₂ = 16/17, и поэтому D = a·(17a – 16) > 0 при a < 0 или a > 16/17.
Разделим обе части исходного уравнения на (2 – a), чтобы получить приведенное квадратное уравнение:
Полученное уравнение задает параболу, причем ветви параболы направлены вверх. Одновременно оба корня уравнения будут лежать с одной стороны от точки x = 0.5, когда f(0.5) > 0 (см. рисунок):
"Корнями" являются a₁ = –2 и a₂ = 2, неравенство выполняется при –2 < a < 2.
По теореме Виета значение 3a / (2 – a) равно сумме корней уравнения. Тогда M = 3a / (4 – 2a) является арифметическим средним корней и лежит ровно посередине между ними. Оба корня будут лежать справа от x = 0.5, когда их среднее M > 0.5 (см. рисунок):
"Корнями" являются a₁ = 0.5 и a₂ = 2, неравенство выполняется при 0.5 < a < 2.
Таким образом, корни уравнения (2 – a)x² – 3ax + 2a = 0 являются действительными и оба больше 0.5 при одновременном выполнении системы из трех условий:
1. дискриминант строго больше нуля ⇒ a ∈ (–∞; 0) ∪ (16/17; +∞),
2. для приведенного уравнения справедливо f(0.5) > 0 ⇒ a ∈ (–2; 2),
3. среднее значение корней приведенного квадратного уравнения больше 0.5 ⇒ a ∈ (0.5; 2).
Пересекая полученные интервалы, получаем ответ: a ∈ (16/17; 2).
Выражение |x + 2|(x² – a²) -- может менять знак только в точках, являющихся корнями уравнения |x + 2|(x² – a²) = 0, то есть корни делят числовую прямую на интервалы, в пределах которых знак сохраняется.
Для решения неравенства |x + 2|(x² – a²) > 0 необходимо нанести корни на числовую прямую и пометить те интервалы, на которых выражение |x + 2|(x² – a²) является положительным. Сами корни не будут входить в ответ, поскольку неравенство строгое.
Корнями являются значения x₁ = –2, x₂ = –a, x₃ = a. Существует несколько возможных вариантов расположения этих корней на числовой прямой, поэтому необходимо рассмотреть их все по отдельности (см. рисунок).
a ∈ (16/17; 2)
Объяснение:
(2 – a)x² – 3ax + 2a = 0
При a = 2 квадратное уравнение вырождается в линейное, а следовательно имеет единственный корень, что не соответствует условию задачи, поэтому 2 – a ≠ 0 и a ≠ 2.
У квадратного уравнения имеется два различных корня тогда и только тогда, когда дискриминант строго больше нуля.
D = (–3a)² – 4·(2 – a)·2a = 9a² – 16a + 8a² = 17a² – 16a = a·(17a – 16)
Корнями уравнения a·(17a – 16) = 0 являются числа a₁ = 0 и a₂ = 16/17, и поэтому D = a·(17a – 16) > 0 при a < 0 или a > 16/17.
Разделим обе части исходного уравнения на (2 – a), чтобы получить приведенное квадратное уравнение:
Полученное уравнение задает параболу, причем ветви параболы направлены вверх. Одновременно оба корня уравнения будут лежать с одной стороны от точки x = 0.5, когда f(0.5) > 0 (см. рисунок):
"Корнями" являются a₁ = –2 и a₂ = 2, неравенство выполняется при –2 < a < 2.
По теореме Виета значение 3a / (2 – a) равно сумме корней уравнения. Тогда M = 3a / (4 – 2a) является арифметическим средним корней и лежит ровно посередине между ними. Оба корня будут лежать справа от x = 0.5, когда их среднее M > 0.5 (см. рисунок):
"Корнями" являются a₁ = 0.5 и a₂ = 2, неравенство выполняется при 0.5 < a < 2.
Таким образом, корни уравнения (2 – a)x² – 3ax + 2a = 0 являются действительными и оба больше 0.5 при одновременном выполнении системы из трех условий:
1. дискриминант строго больше нуля ⇒ a ∈ (–∞; 0) ∪ (16/17; +∞),
2. для приведенного уравнения справедливо f(0.5) > 0 ⇒ a ∈ (–2; 2),
3. среднее значение корней приведенного квадратного уравнения больше 0.5 ⇒ a ∈ (0.5; 2).
Пересекая полученные интервалы, получаем ответ: a ∈ (16/17; 2).
|x + 2|(x² – a²) > 0
1) a ≤ –2: x ∈ (–∞; a) ∪ (–a; +∞)
2) –2 < a < 0: x ∈ (–∞; a) ∪ (–a; +∞) \ {–2}
3) a = 0: x ∈ (–∞; +∞) \ {–2; 0}
4) 0 < a < 2: x ∈ (–∞; –a) ∪ (a; +∞) \ {–2}
5) a ≥ 2: x ∈ (–∞; –a) ∪ (a; +∞)
Объяснение:
Выражение |x + 2|(x² – a²) -- может менять знак только в точках, являющихся корнями уравнения |x + 2|(x² – a²) = 0, то есть корни делят числовую прямую на интервалы, в пределах которых знак сохраняется.
Для решения неравенства |x + 2|(x² – a²) > 0 необходимо нанести корни на числовую прямую и пометить те интервалы, на которых выражение |x + 2|(x² – a²) является положительным. Сами корни не будут входить в ответ, поскольку неравенство строгое.
Корнями являются значения x₁ = –2, x₂ = –a, x₃ = a. Существует несколько возможных вариантов расположения этих корней на числовой прямой, поэтому необходимо рассмотреть их все по отдельности (см. рисунок).