Теперь, используя график функции у = tg х в интервале 0 < х < π/2 можно построить график этой функции и в интервале — π/2 < х <0. Для этого воспользуемся тождествомtg (—φ) = — tg φ.Оно указывает на то, что график функции y = tg x симметричен относительно начала координат. Отсюда сразу же получается та часть графика, которая соответствует значениям — π/2 < х <0Функция y = tg x периодична с периодом π. Поэтому теперь для построения ее графика нам остается лишь продолжить периодически кривую, представленную на рисунке, влево и вправо с периодом π. В результате получается кривая, которая называется тангенсоидой.Тангенсоида хорошо иллюстрирует все те основные свойства функции у = tg x, которые раньше были доказаны нами. Напомним эти свойства.1) Функция у = tg x определена для всех, значений х, кроме х = π/2 + nπ, где n — любое целое число. Таким образом, областью ее определения служит совокупность всех действительных чисел, кроме х = π/2 + nπ.2) Функция у = tg x не ограничена. Она может принимать как любые положительные, так и любые отрицательные значения. Следовательно, областью ее изменения является совокупность всех действительных чисел. Среди этих чисел нельзя указать ни наибольшего, ни наименьшего.3) Функция у = tg x нечетна (тангенсоида симметрична относительно начала координат).4) Функция у = tg x периодична с периодом π.5) В интервалахnπ < х < π/2 + nπфункция у = tg х положительна, а в интервалах— π/2 + nπ< х < nπотрицательна. При х = nπ функция у = tg x обращается в нуль Поэтому эти значения аргумента (0; ± π; ± 2π; ±3π; ..) служат нулями функции у = tg x.6) В интервалах— π/2 + nπ < х < π/2 + nπ функция монотонно возрастает. Можно сказать, что в любом интервале, в котором функция у = tg x определена, она является монотонно возрастающей.Однако ошибочно было бы считать, что функция у = tg x монотонно возрастает всюду. Так, например , π/4 + π/2 > π/2 . Однако tg (π/4 + π/2) < tg π/4 . Это объясняется тем, что в интервал, соединяющий точки х =π/4 и х = π/4 + π/2, попадает значение х = π/2, при котором функция у = tg x не определена.Для построения графика функции у = ctg x следует воспользоваться тождествомctg x = — tg (x + π/2)Оно указывает на следующий порядок построения графика:1) тангенсоиду у = tg x нужно сдвинуть влево по оси абсцисс на расстояние π/2;2) полученную кривую отобразить симметрично относительно оси абсцисс.В результате такого построения получается кривая, представленная на рисунке. Эту кривую иногда называют котангенсоидой.Котангенсоида хорошо иллюстрирует все основные свойства функции у = ctg х. Предлагаем учащимся сформулировать эти свойства и дать им графическую интерпретацию.Упражнения1.Используя графики функций у = tg x и у = ctg х, найти наименьшие положительные корни уравнений:a) tg х = —3; б) tg х = 2; в) ctg х = —3; г) ctg x = 2.2. Используя графики функций у = tg x и у = ctg х, найти все корни уравнений:a) tg х = \/3; б) ctg x = 1 / \/ 3
1) Задание совсем лёгкое. Надо уметь читать и понимать задание. Нам сказано, что если x = 2,5 то найдите y. Значит, нам надо подставить(поставить цифру вместо переменной) значение x,y или другой буквы. Заодно сделаем проверку, то есть проверим, равны ли между собой левые и правые части (перед "=" и после "=") Если равны, то следовательно у нас всё верно. 2) Сказано, что y = 6, то найдите x. Поставим вместо y цифру 6. С "y" перенесём в левую часть свободные члены, а в правую переменные. (При переносе через равно все числа меняют знак на противоположный). Снова сделаем проверку. 3) Вам дана точка с переменными x и y, только у вас вместо них стоят координаты. Выглядит это так B(x;y). То есть x=7, y = -3. Опять же, подставим значения x и y в функцию и поймём проходит ли данный график функции через точку B(7;-3). -3 не равно - 2 следовательно график функции не проходит через точку B. Вот и всё задание). Удачи на уроках!
Нам сказано, что если x = 2,5 то найдите y. Значит, нам надо подставить(поставить цифру вместо переменной) значение x,y или другой буквы.
Заодно сделаем проверку, то есть проверим, равны ли между собой левые и правые части (перед "=" и после "=") Если равны, то следовательно у нас всё верно.
2) Сказано, что y = 6, то найдите x. Поставим вместо y цифру 6.
С "y" перенесём в левую часть свободные члены, а в правую переменные. (При переносе через равно все числа меняют знак на противоположный). Снова сделаем проверку.
3) Вам дана точка с переменными x и y, только у вас вместо них стоят координаты. Выглядит это так B(x;y). То есть x=7, y = -3. Опять же, подставим значения x и y в функцию и поймём проходит ли данный график функции через точку B(7;-3). -3 не равно - 2 следовательно график функции не проходит через точку B.
Вот и всё задание). Удачи на уроках!