Для доказательства того, что прямые BF и AC являются скрещивающимися, мы должны показать, что они не лежат в одной плоскости.
Для начала, рассмотрим треугольник ABC. У нас имеются два угла: ∠FBC и ∠FCB, и известно, что ∠FBC = 50° и ∠FCB = 70°. Вспомним, что сумма углов треугольника равна 180°.
Таким образом, ∠ABC = 180° - ∠FBC - ∠FCB = 180° - 50° - 70° = 60°.
Теперь давайте рассмотрим квадрат ACDF. Он лежит в другой плоскости, поэтому его сторона AC не совпадает с стороной треугольника ABC. Предположим, что прямые BF и AC не скрещиваются, а лежат в одной плоскости.
Если прямые BF и AC лежат в одной плоскости, то прямая BF должна проходить через вершину D квадрата ACDF (поскольку D является вершиной квадрата и находится в этой плоскости) и пересекать сторону CF в точке F.
Теперь рассмотрим треугольник BCF. Из векторов их сторон следует, что угол ∠BCF должен быть равен 180° - 70° = 110°, так как углы вокруг точки комплементарны (их сумма равна 180°).
С другой стороны, у нас уже есть информация о ∠FBC = 50°.
Таким образом, сумма ∠FBC + ∠BCF равна 50° + 110° = 160°.
Но у нас также есть третий угол треугольника BCF, а сумма всех углов треугольника должна быть равна 180°.
Таким образом, ∠BCF = 180° - ∠FBC - ∠BCF = 180° - 50° - 110° = 20°.
Однако мы уже ранее установили, что ∠ABC = 60°.
Таким образом, мы получаем противоречие, так как ∠BCF ≠ ∠ABC.
Следовательно, прямые BF и AC не могут лежать в одной плоскости.
Отсюда следует, что BF и AC являются скрещивающимися прямыми.
Чтобы найти угол между BF и AC, мы можем использовать угол FCB, так как ∠FCB искомый угол и находится между прямыми BF и AC.
1. Сначала найдем значения функции на концах отрезка [-1,5; 1,5].
Подставим первую границу отрезка в функцию:
y = (-1,5)^3 + 9*(-1,5)^2 + 15 = -3,375 + 20,25 + 15 = 31,875
Значение функции на первой границе равно 31,875.
Теперь подставим вторую границу отрезка в функцию:
y = (1,5)^3 + 9*(1,5)^2 + 15 = 3,375 + 20,25 + 15 = 38,625
Значение функции на второй границе равно 38,625.
2. Теперь нам нужно найти критические точки функции на отрезке [-1,5; 1,5]. Это могут быть точки, в которых производная функции равна нулю или не существует.
Сначала найдем производную функции:
y = x^3 + 9x^2 + 15
y' = 3x^2 + 18x
Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю и решим уравнение:
3x^2 + 18x = 0
x(3x + 18) = 0
У нас есть два множителя, которые могут быть равными нулю. Проверим каждый из них:
1) x = 0
2) 3x + 18 = 0 => 3x = -18 => x = -6
Получили две критические точки: x = 0 и x = -6.
3. Теперь найдем значения функции в найденных критических точках.
Подставим x = 0 в функцию:
y = 0^3 + 9*0^2 + 15 = 0 + 0 + 15 = 15
Значение функции в точке x = 0 равно 15.
Подставим x = -6 в функцию:
y = (-6)^3 + 9*(-6)^2 + 15 = -216 + 324 + 15 = 123
Значение функции в точке x = -6 равно 123.
4. Теперь сравним все найденные значения функции: 31,875, 38,625, 15, 123.
Наименьшее значение функции - 15, полученное при x = 0.
Наибольшее значение функции - 123, полученное при x = -6.
Ответ: Наименьшее значение функции y = x^3 + 9x^2 + 15 на отрезке [-1,5; 1,5] равно 15, а наибольшее значение - 123.
Для начала, рассмотрим треугольник ABC. У нас имеются два угла: ∠FBC и ∠FCB, и известно, что ∠FBC = 50° и ∠FCB = 70°. Вспомним, что сумма углов треугольника равна 180°.
Таким образом, ∠ABC = 180° - ∠FBC - ∠FCB = 180° - 50° - 70° = 60°.
Теперь давайте рассмотрим квадрат ACDF. Он лежит в другой плоскости, поэтому его сторона AC не совпадает с стороной треугольника ABC. Предположим, что прямые BF и AC не скрещиваются, а лежат в одной плоскости.
Если прямые BF и AC лежат в одной плоскости, то прямая BF должна проходить через вершину D квадрата ACDF (поскольку D является вершиной квадрата и находится в этой плоскости) и пересекать сторону CF в точке F.
Теперь рассмотрим треугольник BCF. Из векторов их сторон следует, что угол ∠BCF должен быть равен 180° - 70° = 110°, так как углы вокруг точки комплементарны (их сумма равна 180°).
С другой стороны, у нас уже есть информация о ∠FBC = 50°.
Таким образом, сумма ∠FBC + ∠BCF равна 50° + 110° = 160°.
Но у нас также есть третий угол треугольника BCF, а сумма всех углов треугольника должна быть равна 180°.
Таким образом, ∠BCF = 180° - ∠FBC - ∠BCF = 180° - 50° - 110° = 20°.
Однако мы уже ранее установили, что ∠ABC = 60°.
Таким образом, мы получаем противоречие, так как ∠BCF ≠ ∠ABC.
Следовательно, прямые BF и AC не могут лежать в одной плоскости.
Отсюда следует, что BF и AC являются скрещивающимися прямыми.
Чтобы найти угол между BF и AC, мы можем использовать угол FCB, так как ∠FCB искомый угол и находится между прямыми BF и AC.
Из условия задачи известно, что ∠FCB = 70°.
Таким образом, угол между BF и AC равен 70°.
1. Сначала найдем значения функции на концах отрезка [-1,5; 1,5].
Подставим первую границу отрезка в функцию:
y = (-1,5)^3 + 9*(-1,5)^2 + 15 = -3,375 + 20,25 + 15 = 31,875
Значение функции на первой границе равно 31,875.
Теперь подставим вторую границу отрезка в функцию:
y = (1,5)^3 + 9*(1,5)^2 + 15 = 3,375 + 20,25 + 15 = 38,625
Значение функции на второй границе равно 38,625.
2. Теперь нам нужно найти критические точки функции на отрезке [-1,5; 1,5]. Это могут быть точки, в которых производная функции равна нулю или не существует.
Сначала найдем производную функции:
y = x^3 + 9x^2 + 15
y' = 3x^2 + 18x
Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю и решим уравнение:
3x^2 + 18x = 0
x(3x + 18) = 0
У нас есть два множителя, которые могут быть равными нулю. Проверим каждый из них:
1) x = 0
2) 3x + 18 = 0 => 3x = -18 => x = -6
Получили две критические точки: x = 0 и x = -6.
3. Теперь найдем значения функции в найденных критических точках.
Подставим x = 0 в функцию:
y = 0^3 + 9*0^2 + 15 = 0 + 0 + 15 = 15
Значение функции в точке x = 0 равно 15.
Подставим x = -6 в функцию:
y = (-6)^3 + 9*(-6)^2 + 15 = -216 + 324 + 15 = 123
Значение функции в точке x = -6 равно 123.
4. Теперь сравним все найденные значения функции: 31,875, 38,625, 15, 123.
Наименьшее значение функции - 15, полученное при x = 0.
Наибольшее значение функции - 123, полученное при x = -6.
Ответ: Наименьшее значение функции y = x^3 + 9x^2 + 15 на отрезке [-1,5; 1,5] равно 15, а наибольшее значение - 123.