1. Уравнение касательной y= f(х0) + f'(x0)(x - x0), где х0=3 ( задано в условии). Сгачала ищем производную функции f'(x)= 2*3x-2=6x-2. Теперь найдем производную в точке х0=3 f'(x0)=f'(3)=6*3-2=16. Теперь найдем значение функции в точке х0=3 f(x0)=f(3)=3*3²-2*3+11=27-6+11=32. Все подставляем в уравнение касателтной у=32+16(x-3)=32+16x-48=16x-16 y=16x-16 уравнение касателтной. 2.скорость это первая производная от S, а ускорение это вторая производная. V(t)=S'(t)=16t+3, а при t=3 c V(3)=16*3+3=51. Ускорение а=S''(t)=V'(t)=16.
3. f(x)=15x^4-10x^3+2x-4 Производная от суммы ищется легко, нужно брать производную от каждого слогаемого. Есть таблица простых производных, вот по ней и надо смотреть. При переменных константа сохраняется, для 15х⁴ производная будет 15*4(это степень)*х³(а тут степень на один понижается и т.д. f'(x)=15*4х³-10*3х²+2=60х³-30х²+2. Для 4 производная 0, для х производная 1, поэтому для 2х двойка остается как константа, а вместо х единица, вот и получается просто 2.
Сгачала ищем производную функции f'(x)= 2*3x-2=6x-2.
Теперь найдем производную в точке х0=3
f'(x0)=f'(3)=6*3-2=16.
Теперь найдем значение функции в точке х0=3
f(x0)=f(3)=3*3²-2*3+11=27-6+11=32.
Все подставляем в уравнение касателтной
у=32+16(x-3)=32+16x-48=16x-16
y=16x-16 уравнение касателтной.
2.скорость это первая производная от S, а ускорение это вторая производная.
V(t)=S'(t)=16t+3, а при t=3 c
V(3)=16*3+3=51.
Ускорение а=S''(t)=V'(t)=16.
3. f(x)=15x^4-10x^3+2x-4
Производная от суммы ищется легко, нужно брать производную от каждого слогаемого. Есть таблица простых производных, вот по ней и надо смотреть. При переменных константа сохраняется, для 15х⁴ производная будет 15*4(это степень)*х³(а тут степень на один понижается и т.д.
f'(x)=15*4х³-10*3х²+2=60х³-30х²+2.
Для 4 производная 0, для х производная 1, поэтому для 2х двойка остается как константа, а вместо х единица, вот и получается просто 2.
ДАНО
F(x) = - x³ - 2*x² - 3*x + 5 - уравнение функции.
Хо = - 2 - точка касания.
НАЙТИ
Уравнение касательной.
РЕШЕНИЕ
Уравнение касательной по формуле:
Y = F'(x)*(x - Xo) + F(Xo).
Находим производную функции:
F'(x) = - 3*x² - 4*x - 3 - уравнение производной.
Вычисляем значение производной в в точке касания - Хо = - 2
F'(-2) = -3*4 - 4*(-2) - 3 = -7 - k - угол наклона.
Вычисляем значение функции в точке касания.
F(-2) = 11
Составляем уравнение касательной:
Y = - 7*(x+2) + 11 = - 7*x - 3 - касательная - ОТВЕТ
Рисунок с графиками функции м касательной в приложении.
Задача 2.
ДАНО
F(x) = 2*x³ + 6*x² + 11*x + 8 - функция
Y1 = 5*x +4 - заданная прямая линия.
Касательная параллельна прямой Y1.
НАЙТИ
Хо - точка касания
Y(x) = k*x+ b - уравнение касательной.
РЕШЕНИЕ
Уравнение касательной в общем виде:
Y = F'(x)*(x - Xo) + F(x) = F'(x)*x + (F(x) - F'(x)*Xo)
Уравнения параллельной прямой и уравнение касательной - имеют ОДИНАКОВЫЙ коэффициент наклона - k.
F'(x) = 5 - условие для нахождения точки касания.
Находим производную функции и сразу решаем уравнение:
F'(x) = 6*x² + 12*x + 11 = 5
Упрощаем
F'(x) = x² + 2*x + 1 = (x + 1)² = 0
Решаем (или находим корень) квадратное уравнение, D = 0, корень один Хо = - 1 - точка касания - ОТВЕТ
Вычисляем при Хо = - 1.
F(-1) = -2 + 6 - 11 + 8 = 1
Составляем уравнение касательной в точке - Хо = - 1.
Y = 5*x + 1 +(-1)*5)
Y - 5*x + 6 - уравнение касательой - ОТВЕТ
Рисунок с графиком - в приложении.