Доказать,что если 4a+2b=1,то a^2+b^2>=1/20. Определить значения a и b,прикоторых имеет место равенство

Обозначим четырехугольник ABCD, искомую точку - O.
Тогда по условию сумма векторов OA + OB + OC + OD = 0

Возьмем произвольную точку X в плоскости четырехугоьлника

Справедливы векторные равенства:

XA = XO + OA
XB = XO + OB
XC = XO + OC
XD = XO + OD

XA + XB + XC + XD = 4XO + OA + OB + OC + OD 

Отсюда следует:

XA + XB + XC + XD = 4XO

Тогда вектор XO = 1/4 (XA + XB + XC + XD)

Отсюда находится точка О
(берем любую точку X, строим XA, XB, XC, XD, находим XO, и откладываем его из точки X - попадаем в искомую точку О).

Положим существует точка O1 обладающая теми же свойствами

Тогда такими же рассуждениями получаем, что
XO1 = 1/4 (XA + XB + XC + XD)

Отсюда XO = XO1, но это значит что O = O1 (т.е. это та же самая точка, значит она единственна)

Обозначим (х) кг кислоты содержится в 48 кг первого сосуда, 
                   (у) кг кислоты содержится в 42 кг второго сосуда.
если их слить вместе, получим (48+42=90) кг раствора, 
содержащего (х+у) кг кислоты --это 42%
90 кг 100%
(х+у)   42%
х+у = 90*42/100 = 37.8
если слить равные массы (например, по 1 кг ))) растворов, 
получим 2 кг раствора,
содержащего ((х/48)+(у/42)) кг кислоты --это 40%
2 кг 100%
((х/48)+(у/42)) 40%
((х/48)+(у/42)) = 0.8
получили систему уравнений:
х = 37.8 - у
7х+8у = 0.8*6*7*8

7*37.8 + у = 268.8
у = 268.8 - 264.6 = 4.2 (кг) кислоты было во втором растворе.

ПРОВЕРКА:
х = 37.8-4.2 = 33.6
48 кг 100%
33.6   р%
р = 3360/48 = 70% раствор был в первом сосуде
42 кг 100%
4.2      р%
р = 420/42 = 10% раствор был во втором сосуде
90 кг 100%
37.8  р%
р = 3780/90 = 378/9 = 42%
в 1 кг 70% раствора содержится 1*0.7 кг кислоты
в 1 кг 10% раствора содержится 1*0.1 кг кислоты
2 кг 100%
0.7+0.1 р%
р = 80/2 = 40%