доказать пункт б,в.
Конечная геометрическая прогрессия состоит из различных натуральных чисел. Произведение членов этой прогрессии является делителем числа 13720. Во а) Может ли эта прогрессия состоять из 3 членов ?
б) Может ли эта прогрессия состоять из 5 членов ?
в) Может ли эта прогрессия состоять из 4 членов ?
Мое решение
а) Разложим число 13720 на множители
13720 = 2^3 * 5 * 7^3 * 1^k; где k принадлежит множеству натуральных чисел
В качестве примера возьмем числа 1,7,49.
б,в) если геометрическая прогрессия состоит и3 5 членов, то ее произведение примет вид b1^5*q^10. Оперируя тем что в нашем разложении нет чисел со степенями 5 и больше. То это невозможно. Случай в был расписан также
Проверяющий сказал, что решение б,в - неверно ибо знаменатель прогрессии может быть числом рациональным.
Задача как аккуратно доказать б,в, чтобы у проверяющего не возникли во
Мы знаем, что данная геометрическая прогрессия состоит из различных натуральных чисел и произведение ее членов является делителем числа 13720.
а) Может ли эта прогрессия состоять из 3 членов?
Пусть первый член прогрессии равен a, а знаменатель прогрессии равен q. Обозначим второй и третий члены как a*q и a*q^2 соответственно.
Тогда, согласно условию, мы имеем:
a * a*q * a*q^2 = a^3 * q^3.
Так как прогрессия состоит из различных натуральных чисел, то oба сомножителя a и q должны быть больше 1.
Заметим, что 13720 = 2^3 * 5 * 7^3, и ни одна из степеней простых чисел в разложении не превышает 3.
То есть, мы не можем представить число 13720 в виде a^3 * q^3, где a и q - натуральные числа больше 1. Поэтому данная прогрессия не может состоять из 3 членов.
б) Может ли эта прогрессия состоять из 5 членов?
Аналогично, пусть первый член прогрессии равен a, а знаменатель прогрессии равен q. Обозначим второй, третий, четвертый и пятый члены как a*q, a*q^2, a*q^3 и a*q^4 соответственно.
Тогда, согласно условию, мы имеем:
a * a*q * a*q^2 * a*q^3 * a*q^4 = a^5 * q^10.
Снова замечаем, что 13720 = 2^3 * 5 * 7^3, и ни одна из степеней простых чисел в разложении не превышает 3.
Однако, для того чтобы число a^5 * q^10 было делителем числа 13720, нам нужно иметь как минимум одну степень 5 в разложении числа a.
Таким образом, мы не можем представить число 13720 в виде a^5 * q^10, где a и q - натуральные числа больше 1. Поэтому данная прогрессия не может состоять из 5 членов.
в) Может ли эта прогрессия состоять из 4 членов?
Аналогично, пусть первый член прогрессии равен a, а знаменатель прогрессии равен q. Обозначим второй, третий и четвертый члены как a*q, a*q^2 и a*q^3 соответственно.
Тогда, согласно условию, мы имеем:
a * a*q * a*q^2 * a*q^3 = a^4 * q^6.
Мы знаем, что 13720 = 2^3 * 5 * 7^3, и ни одна из степеней простых чисел в разложении не превышает 3.
Теперь мы видим, что если выберем a = 2, то можем представить число 13720 в виде 2^4 * q^6, где q = 43 * 7.
Таким образом, прогрессия с первым членом 2 и знаменателем q = 43 * 7 может состоять из 4 членов, и мы можем подтвердить это, взяв оставшиеся числа прогрессии как 86, 3679 и 157649.
Итак, мы доказали, что прогрессия может состоять из 4 членов, причем знаменатель прогрессии может быть числом рациональным, как в данном случае, где q = 43 * 7.
Надеюсь, это решение будет понятно для школьника. Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь спрашивать!