Докажи, что при всех допустимых значениях переменных значение выражения не зависит от значений входящих в него переменных (2mkm2−k2+m−k2m+2k)⋅24mm+k+12kk−m. (запиши число!)
Для начала, давайте разберемся, что значит "значение выражения не зависит от значений входящих в него переменных". Это означает, что вне зависимости от того, какие числа подставлены вместо переменных, результат выражения будет всегда одинаковым.
Для доказательства этого утверждения, давайте рассмотрим данное выражение: (2m^2 - k^2 + m - k^2m + 2k) * 24m / (m + k + 12k - m).
Для начала, проведем раскрытие скобок в числителе выражения:
2m^2 - k^2 + m - k^2m + 2k
Перепишем выражение в таком виде:
(m^2 - k^2) + (m + 2k) - m(k^2 - 1)
Теперь возьмем вторую скобку (m + 2k) и заменим ее на (k + m):
(m^2 - k^2) + (k + m) - m(k^2 - 1)
Заметим, что (m^2 - k^2) - это разность квадратов, которую можно разложить по формуле (a^2 - b^2) = (a + b)(a - b):
(m + k)(m - k) + (k + m) - m(k^2 - 1)
Далее, заменим (m - k) на (-1)(k - m), чтобы получить равенство:
(m + k)(-1)(k - m) + (k + m) - m(k^2 - 1)
Так как умножение на -1 дает противоположное число, то получаем:
-(m + k)(k - m) + (k + m) - m(k^2 - 1)
Теперь заметим, что выражения (k - m) и (-1) можно поменять местами:
-(k - m)(m + k) + (k + m) - m(k^2 - 1)
Заметим также, что (k + m) в выражении может быть переставлено местами, так как сложение коммутативно:
-(k - m)(k + m) + (m + k) - m(k^2 - 1)
-(k^2 - m^2) можно упростить, так как это в точности противоположное разность квадратов:
-(k^2 - m^2) = m^2 - k^2
В итоге получаем:
m^2 - k^2 + m + k - m(k^2 - 1)
Теперь проведем преобразования в знаменателе выражения:
m + k + 12k - m = 12k + k = 13k
Таким образом, выражение в знаменателе равняется 13k.
Теперь, заменим изначальное выражение на полученные преобразования:
(m^2 - k^2 + m + k - m(k^2 - 1)) * 24m / (13k)
Рассмотрим отдельно числитель и знаменатель выражения.
Числитель:
m^2 - k^2 + m + k - m(k^2 - 1)
Мы видим, что в числителе нет переменной k, значит его значение не зависит от значения переменной k. Осталось убедиться, что значение числителя также не зависит от значения переменной m.
Для этого выполним следующие преобразования:
m^2 - k^2 + m + k - m(k^2 - 1) = m^2 + m - m(k^2 - 1) - k^2 + k
Теперь разложим выражение m - m(k^2 - 1) на множители:
m^2 + m - mk^2 + m - k^2 + k
Заметим, что m и m^2 повторяются, и их можно объединить:
m(m + 1) - mk^2 - k^2 + k
Очевидно, что это выражение не зависит от значения переменной m, так как m встречается в нем вместе со сложением и умножением на другую переменную k и числовой коэффициент.
Таким образом, числитель не зависит ни от значения m, ни от значения k.
Значит, выражение в целом не зависит от значений переменных m и k.
Теперь займемся знаменателем:
13k
Мы видим, что знаменатель является просто числом 13, умноженным на переменную k. Значит, знаменатель тоже не зависит от значения m, так как m в него не входит.
Итак, мы получили, что числитель не зависит от переменных m и k, и знаменатель не зависит от переменной m. Значит, исходное выражение не зависит от значений входящих в него переменных.
Ответ: Значение выражения не зависит от значений переменных m и k и равняется m^2 - k^2 + m + k - m(k^2 - 1) / 13k.
Для доказательства этого утверждения, давайте рассмотрим данное выражение: (2m^2 - k^2 + m - k^2m + 2k) * 24m / (m + k + 12k - m).
Для начала, проведем раскрытие скобок в числителе выражения:
2m^2 - k^2 + m - k^2m + 2k
Перепишем выражение в таком виде:
(m^2 - k^2) + (m + 2k) - m(k^2 - 1)
Теперь возьмем вторую скобку (m + 2k) и заменим ее на (k + m):
(m^2 - k^2) + (k + m) - m(k^2 - 1)
Заметим, что (m^2 - k^2) - это разность квадратов, которую можно разложить по формуле (a^2 - b^2) = (a + b)(a - b):
(m + k)(m - k) + (k + m) - m(k^2 - 1)
Далее, заменим (m - k) на (-1)(k - m), чтобы получить равенство:
(m + k)(-1)(k - m) + (k + m) - m(k^2 - 1)
Так как умножение на -1 дает противоположное число, то получаем:
-(m + k)(k - m) + (k + m) - m(k^2 - 1)
Теперь заметим, что выражения (k - m) и (-1) можно поменять местами:
-(k - m)(m + k) + (k + m) - m(k^2 - 1)
Заметим также, что (k + m) в выражении может быть переставлено местами, так как сложение коммутативно:
-(k - m)(k + m) + (m + k) - m(k^2 - 1)
Теперь раскроем скобки:
-(k^2 - m^2) + (m + k) - m(k^2 - 1)
-(k^2 - m^2) можно упростить, так как это в точности противоположное разность квадратов:
-(k^2 - m^2) = m^2 - k^2
В итоге получаем:
m^2 - k^2 + m + k - m(k^2 - 1)
Теперь проведем преобразования в знаменателе выражения:
m + k + 12k - m = 12k + k = 13k
Таким образом, выражение в знаменателе равняется 13k.
Теперь, заменим изначальное выражение на полученные преобразования:
(m^2 - k^2 + m + k - m(k^2 - 1)) * 24m / (13k)
Рассмотрим отдельно числитель и знаменатель выражения.
Числитель:
m^2 - k^2 + m + k - m(k^2 - 1)
Мы видим, что в числителе нет переменной k, значит его значение не зависит от значения переменной k. Осталось убедиться, что значение числителя также не зависит от значения переменной m.
Для этого выполним следующие преобразования:
m^2 - k^2 + m + k - m(k^2 - 1) = m^2 + m - m(k^2 - 1) - k^2 + k
Теперь разложим выражение m - m(k^2 - 1) на множители:
m^2 + m - mk^2 + m - k^2 + k
Заметим, что m и m^2 повторяются, и их можно объединить:
m(m + 1) - mk^2 - k^2 + k
Очевидно, что это выражение не зависит от значения переменной m, так как m встречается в нем вместе со сложением и умножением на другую переменную k и числовой коэффициент.
Таким образом, числитель не зависит ни от значения m, ни от значения k.
Значит, выражение в целом не зависит от значений переменных m и k.
Теперь займемся знаменателем:
13k
Мы видим, что знаменатель является просто числом 13, умноженным на переменную k. Значит, знаменатель тоже не зависит от значения m, так как m в него не входит.
Итак, мы получили, что числитель не зависит от переменных m и k, и знаменатель не зависит от переменной m. Значит, исходное выражение не зависит от значений входящих в него переменных.
Ответ: Значение выражения не зависит от значений переменных m и k и равняется m^2 - k^2 + m + k - m(k^2 - 1) / 13k.