Положим что числа представимы в виде кубов Так как остаток слева при делений на равен А куб сравним с , с . Тогда сравним с Остатки один равны тогда , когда не один из слагаемых не кратен , значит не делиться на 5 , но справа делится , ч.т.д
Заметим, что все члены в этой сумме кубов имеют вид x^9, где x - некоторое целое число.
Теперь выпишем сумму кубов по модулю 9:
(a^3 + b^3)^3 ≡ a^9 + 3a^6b^3 + 3a^3b^6 + b^9 (mod 9)
Поскольку a и b - натуральные числа, то a^3 и b^3 будут иметь вид 0, 1 или -1 по модулю 9. Заметим также, что все термы, содержащиеся в сумме кубов, делятся на 9.
Заметим, что среди квадратичных вычетов по модулю 9 нет чисел, квадрат которых дает остаток 2 или 5 по модулю 9. То есть, для чисел, являющихся кубом, среди них нет чисел, квадрат которых дает такие остатки.
Вернемся к равенству (a^3 + b^3)^3 ≡ a^9 + 3a^6b^3 + 3a^3b^6 + b^9 (mod 9). Заметим, что термы 3a^6b^3 и 3a^3b^6 (кратные 9) можно проигнорировать, так как они не влияют на равенство по модулю 9.
Теперь у нас остается равенство a^9 + b^9 ≡ (a^3 + b^3)^3 (mod 9).
Если предположить, что число 10^(3n+1) можно представить в виде суммы кубов двух натуральных чисел, то данное равенство означает, что числа a^9 и b^9 делятся на 9.
Однако, мы знаем, что среди кубов нет чисел, квадрат которых дает остаток 2 или 5 по модулю 9. Это означает, что ни a^9, ни b^9 не делятся на 9. Таким образом, мы приходим к противоречию.
Таким образом, мы доказали, что число 10^(3n+1) не может быть представлено в виде суммы кубов двух натуральных чисел.
Так как остаток слева при делений на
А куб сравним с
Тогда
не один из слагаемых не кратен
Чтобы доказать, что число 10^(3n+1) не может быть представлено в виде суммы кубов двух натуральных чисел, воспользуемся методом непрерывных дробей.
Предположим, что имеется такая сумма кубов двух натуральных чисел, то есть 10^(3n+1) = a^3 + b^3, где a и b - натуральные числа.
Возведем это равенство в куб (а^3 + b^3)^3.
По формуле суммы кубов:
(a^3 + b^3)^3 = a^9 + 3a^6b^3 + 3a^3b^6 + b^9
Заметим, что все члены в этой сумме кубов имеют вид x^9, где x - некоторое целое число.
Теперь выпишем сумму кубов по модулю 9:
(a^3 + b^3)^3 ≡ a^9 + 3a^6b^3 + 3a^3b^6 + b^9 (mod 9)
Поскольку a и b - натуральные числа, то a^3 и b^3 будут иметь вид 0, 1 или -1 по модулю 9. Заметим также, что все термы, содержащиеся в сумме кубов, делятся на 9.
Теперь рассмотрим квадратичные вычеты по модулю 9:
0^2 ≡ 0 (mod 9)
1^2 ≡ 1 (mod 9)
2^2 ≡ 4 (mod 9)
3^2 ≡ 0 (mod 9)
4^2 ≡ 7 (mod 9)
5^2 ≡ 7 (mod 9)
6^2 ≡ 0 (mod 9)
7^2 ≡ 4 (mod 9)
8^2 ≡ 1 (mod 9)
Заметим, что среди квадратичных вычетов по модулю 9 нет чисел, квадрат которых дает остаток 2 или 5 по модулю 9. То есть, для чисел, являющихся кубом, среди них нет чисел, квадрат которых дает такие остатки.
Вернемся к равенству (a^3 + b^3)^3 ≡ a^9 + 3a^6b^3 + 3a^3b^6 + b^9 (mod 9). Заметим, что термы 3a^6b^3 и 3a^3b^6 (кратные 9) можно проигнорировать, так как они не влияют на равенство по модулю 9.
Теперь у нас остается равенство a^9 + b^9 ≡ (a^3 + b^3)^3 (mod 9).
Если предположить, что число 10^(3n+1) можно представить в виде суммы кубов двух натуральных чисел, то данное равенство означает, что числа a^9 и b^9 делятся на 9.
Однако, мы знаем, что среди кубов нет чисел, квадрат которых дает остаток 2 или 5 по модулю 9. Это означает, что ни a^9, ни b^9 не делятся на 9. Таким образом, мы приходим к противоречию.
Таким образом, мы доказали, что число 10^(3n+1) не может быть представлено в виде суммы кубов двух натуральных чисел.
Спасибо за вопрос и удачи в учебе!