Чтобы доказать, что выражение 3^(2n+2) + 8n - 9 делится на 16 для любого значения n, нам нужно воспользоваться методом математической индукции.
Шаг 1: Базовый случай
Сначала проверим, верно ли утверждение для начального значения n. Для n = 1, мы имеем:
3^(2*1+2) + 8*1 - 9 = 3^4 + 8 - 9 = 81 + 8 - 9 = 80
80 не делится на 16 без остатка, поэтому базовый случай n = 1 не удовлетворяет условию задачи.
Шаг 2: Предположение
Предположим, что утверждение верно для некоторого значения n = k, то есть:
3^(2k+2) + 8k - 9 делится на 16 без остатка.
Шаг 3: Доказательство
Покажем, что утверждение также верно для следующего значения n = k+1. Для этого заменим n на k+1 в выражении и проверим, делится ли оно на 16 без остатка:
3^(2(k+1)+2) + 8(k+1) - 9 =
= 3^(2k+4) + 8k + 8 - 9 =
= 3^(2k+2)*9 + 8k - 1
Так как предположение гласит, что 3^(2k+2) + 8k - 9 делится на 16 без остатка, мы можем заменить это выражение в нашем следующем шаге:
3^(2k+2)*9 + 8k - 1 =
= (3^(2k+2) + 8k - 9)*9 + 8k - 1 =
= (16n)*9 + 8k - 1
Таким образом, мы получаем:
(16n)*9 + 8k - 1 = 144n + 8k - 1
Выражение 144n + 8k - 1 является суммой двух частей: 144n и 8k - 1.
Первая часть 144n делится на 16 без остатка (так как 16 делится на 144 без остатка).
Вторая часть 8k - 1 делится на 16 без остатка, если 8k делится на 16 без остатка.
Возьмем 8k и разложим его на простые множители:
8k = 2*2*2*k = (2^3)*k
Таким образом, 8k делится на 16 без остатка.
Итак, мы получаем, что выражение 144n + 8k - 1 делится на 16 без остатка, а значит, доказали, что 3^(2n+2) + 8n - 9 также делится на 16 для любого значения n.
Таким образом, мы доказали данное утверждение с помощью метода математической индукции.
Шаг 1: Базовый случай
Сначала проверим, верно ли утверждение для начального значения n. Для n = 1, мы имеем:
3^(2*1+2) + 8*1 - 9 = 3^4 + 8 - 9 = 81 + 8 - 9 = 80
80 не делится на 16 без остатка, поэтому базовый случай n = 1 не удовлетворяет условию задачи.
Шаг 2: Предположение
Предположим, что утверждение верно для некоторого значения n = k, то есть:
3^(2k+2) + 8k - 9 делится на 16 без остатка.
Шаг 3: Доказательство
Покажем, что утверждение также верно для следующего значения n = k+1. Для этого заменим n на k+1 в выражении и проверим, делится ли оно на 16 без остатка:
3^(2(k+1)+2) + 8(k+1) - 9 =
= 3^(2k+4) + 8k + 8 - 9 =
= 3^(2k+2)*9 + 8k - 1
Так как предположение гласит, что 3^(2k+2) + 8k - 9 делится на 16 без остатка, мы можем заменить это выражение в нашем следующем шаге:
3^(2k+2)*9 + 8k - 1 =
= (3^(2k+2) + 8k - 9)*9 + 8k - 1 =
= (16n)*9 + 8k - 1
Таким образом, мы получаем:
(16n)*9 + 8k - 1 = 144n + 8k - 1
Выражение 144n + 8k - 1 является суммой двух частей: 144n и 8k - 1.
Первая часть 144n делится на 16 без остатка (так как 16 делится на 144 без остатка).
Вторая часть 8k - 1 делится на 16 без остатка, если 8k делится на 16 без остатка.
Возьмем 8k и разложим его на простые множители:
8k = 2*2*2*k = (2^3)*k
Таким образом, 8k делится на 16 без остатка.
Итак, мы получаем, что выражение 144n + 8k - 1 делится на 16 без остатка, а значит, доказали, что 3^(2n+2) + 8n - 9 также делится на 16 для любого значения n.
Таким образом, мы доказали данное утверждение с помощью метода математической индукции.