Докажите, что для любого натурального n>1 верно равенство: 1+n+n*(n-1) +n*(n-1)*(n-2) +n*(n-1)*(n-2)*(n-3)+...+n! =
= e * n! - |arcsin(sin(π*e*n!) )/π|
Задачку не откуда не взял, сам придумал.

шаг1: база индукции:
: 
шаг2: допустим, что утверждение выполняется в случае , где  - любое натуральное число.
шаг3: Если докажем правдивость утверждения в случае  то покажем, что наше допущение также правда.

Факт: Если разница числа P и Q делится на 9 нацело, то и их разница делится на 9 нацело и наоборот.
P = 9*p
Q = 9*q
P - Q = 9(p-q)

Воспользуемся этим:
- делится на 9 (известно из шага 2)
- доказываем (с гипотезой, что случай n=n - прав)

Разница: 



то, что разница кратна 9, доказало кратность 9 выражения в случае , а это подтверждает гипотезу.

Вот в этом вся суть, логику можете расписать подробнее.

{2х+3у=8
{(5-5\2×2)х+(-2-5\2 ×3)у =55-5\2 ×8 ( \ - этот знак значит дробь) 

{2х+3у=8
{0+(-2-5\2 ×3) у=55-5\2 ×8

{2х+3у=8
{(-2-5\2×3)у=55-5\2×8

{2х+3у=8
{(-2 - 5\2 ×3) у=55-5×4

{2х+3у=8
{(-2-5×3\2) у=55-5×4

{2х+3у=8
{(-2-15\2)у=55-5×4

{2х+3у=8
{2×-2-15\2у=55-5×4

{2х+3у=8
{-4-15\2 у =55-5×4

{2х+3у=8 
{-19\2у=55-5×4

{2х-3у=8
{-19\2у=55-5×4

{2х+3у=8
{-19\2у=55-20

{2х+3у=8
{-19\2у=35

{2х-3у=8
{у=35÷(-19\2)

{2х-3у=8
{у=35×(-2\19)

{2х-3у=8
{у=-35×2\19

{2х-3у=8
{у=-70÷19

{2х+3×(-70\19)=8
{у=-70\19

{2х-3×70\19=8
{у=-70\19

{2х-210\19=8
{у=-70\19

{2х=8+210\19
{у=-70\90

{2х=19×8+210\19
{у=-70\19

{2х=362\19
{у=-70\19

{2х=362\19÷2
{у=-70\19

{х=362\19×1\2
{у=70\19

{х=181\19×1
{у=-70×19

{х=181\19
{у=-70\19