В
Все
М
Математика
О
ОБЖ
У
Українська мова
Д
Другие предметы
Х
Химия
М
Музыка
Н
Немецкий язык
Б
Беларуская мова
Э
Экономика
Ф
Физика
Б
Биология
О
Окружающий мир
Р
Русский язык
У
Українська література
Ф
Французский язык
П
Психология
А
Алгебра
О
Обществознание
М
МХК
В
Видео-ответы
Г
География
П
Право
Г
Геометрия
А
Английский язык
И
Информатика
Қ
Қазақ тiлi
Л
Литература
И
История
машуня89
машуня89
24.05.2021 12:38 •  Алгебра

Докажите, что если x>0, y>0, то \lim\limits_{a\to 0}\left(\frac{x^a+y^a}{2}\right)^{1/a}=\sqrt{xy}.

Показать ответ
Ответ:
Станислав2017
Станислав2017
17.07.2021 15:00

Определенная на интервале I функция f называется выпуклой (выпуклой вниз) на I, если для любых x′,x′′∈I и любого числа λ(0<λ<1) выполняется неравенство

f(λx′+(1−λ)x′′)⩽λf(x′)+(1−λ)f(x′′).

С геометрической точки зрения смысл выпуклости состоит в том, что все точки дуги графика функции y=f(x) расположены не выше хорды, соединяющей концы этой дуги. Действительно, отрезок, соединяющий точки (x′,f(x′)) и (x′′,f(x′′)), имеет вид

l(x)=f(x′)+

f(x′′)−f(x′)

x′′−x′

(x−x′).

При 0<λ<1 точка x=λx′+(1−λ)x′′ принадлежит интервалу с концами x′ и x′′. При этом неравенство, определяющее понятие выпуклости, принимает такой вид: f(x)⩽l(x).

Обозначим x=λx′+(1−λ)x′′. Тогда λ=

x′′−x

x′′−x′

,1−λ=

x−x′

x′′−x′

. Поэтому определение выпуклости можно переписать в таком виде: функция f называется выпуклой на интервале I, если для любых точек x′,x′′∈I, таких, что x′<x′′, и для любого x∈[x′,x′′]справедливо неравенство

f(x)⩽f(x′)

x′′−x

x′′−x′

+f(x′′)

x−x′

x′′−x′

.

Если в определении выпуклости нестрогое неравенство заменить строгим, то получим определение строгой выпуклости вниз. С геометрической точки зрения строгая выпуклость означает, что, кроме выпуклости, график функции не содержит линейных отрезков.

0,0(0 оценок)
Популярные вопросы: Алгебра
Полный доступ
Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку
logo
Начни делиться знаниями
Вход Регистрация
Что ты хочешь узнать?
Спроси ai-бота