Докажите что любое 60-значное число не содержащее нулей можно зачеркнуть несколько цифр так что в результате оно будет делиться на 1001

Всего цифр девять. Значит по принципу Дирихле, обязательно найдутся 6 одинаковых цифр. Оставим их, остальные зачеркнём. Полученное число делится на 1001:
= 1000*aaa+aaa = aaa*1001.