Докажите, что многочлен х³-х²-3х+2, делиться нацело на многочлен х²+х-1

Показать ответ

Ответ:

нурлес2

12.02.2022 13:59

$\sqrt{x^4+(a-5)^4}=|x+a-5|+|x-a+5|$

Пусть xo - корень этого уравнения, тогда -xo также корень. Проверка:

$\sqrt{(-x_o)^4+(a-5)^4}=|-x_o+a-5|+|-x_o-a+5|$

$\sqrt{x_o^4+(a-5)^4}=|-(x_o-a+5)|+|-(x_o+a-5)|$

$\sqrt{x_o^4+(a-5)^4}=|x_o-a+5|+|x_o+a-5|$

Получилось тоже самое уравнение. Значит:

x_o=-x_o

Подставим это значение в уравнение:

$\sqrt{(a-5)^4}=|a-5|+|-a+5|$

(a-5)^2=|a-5|+|-(a-5)|

Не торопимся записывать эти значения в ответ. Обратите внимание, что это только претенденты на ответ. Теперь каждое значение нужно аккуратно подставить в изначальное уравнение, и проверить, на количество корней. Те значение. которые будут давать больше 1 корня, мы в ответ записывать не будем(по условию).

a=3

$\sqrt{x^4+16}=|x-2|+|x+2|$

Решаем это уравнение с модулями на промежутках.

$1)x\in(-\infty ;-2]$

$\sqrt{x^4+16}=-x+2-x-2$

$\sqrt{x^4+16}=-2x$

x^4+16=4x^2

$x^2=t;t \geq 0$

t^2-4t+16=0

$2) x\in(-2;2]$

$\sqrt{x^4+16}=-x+2+x+2$

$\sqrt{x^4+16}=4$

x^4+16=16

$3)x\in (2;+\infty)$

$\sqrt{x^4+16}=x-2+x+2$

$\sqrt{x^4+16}=2x$

Заметим, что это ситуация аналогична пункту 2, решений тут нет.

Теперь складываем все полученные корни и того: 1 корень. Значит это значение пойдет в ответ.

a=5

$\sqrt{x^4}=|x|+|x|$

x^2=2|x|

Это значение не подходит, так как тут целых 3 корня.

a=7

$\sqrt{x^4+16}=|x+2|+|x-2|$

Заметим, что это уравнение копия уравнения, при a=3, значит тут будет всего 1 корень, и это значение нм подходит.

ответ: a=3,a=7.
Найдите все значения а при которых уравнение имеет одно решение.

Найдите все значения а при которых уравнение имеет одно решение.

0,0(0 оценок)

Ответ:

AnastasiyaSm

06.02.2020 17:04

По определению, $\left\{\underset{n\rightarrow\infty}{lim}x_n=L\right\}\Leftrightarrow\forall\varepsilon 0 \ \exists N: \ \forall n\geq N\rightarrow\left|x_n-L\right|$

Т.к. в обоих случаях нужно обосновать, что L=0, определение преобразуется в утверждение $\left\{\underset{n\rightarrow\infty}{lim}x_n=0\right\}\Leftrightarrow\forall\varepsilon 0 \ \exists N: \ \forall n\geq N\rightarrow\left|x_n\right|$

2) $x_n=\dfrac{a}{n}$

|x_n|

А значит, если взять $N=\left[\dfrac{|a|}{\varepsilon}\right] +1$ (*), $\forall\;n\geq N\to |x_n|$ . И правда: $\dfrac{|a|}{\varepsilon}$

(*) Очевидно, что для любого допустимого значения $\varepsilon$ выражение $\left[\dfrac{|a|}{\varepsilon}\right] +1$ определено и конечно, и при этом натуральное число (как сумма неотрицательного целого числа и 1). (*)

А это и означает, что предел данной последовательности равен 0

4) $x_n=\dfrac{2+(-1)^n}{n}$

|x_n|

$|2+(-1)^n|=\left\{\begin{array}{c}2-1=1,n=2k-1,k\in N \\2+1=3,n=2k,k\in N \end{array}\right. \Rightarrow |2+(-1)^n|\leq 3\; \forall n\in N$

А значит, если взять $N=\left[\dfrac{3}{\varepsilon}\right] +1$ (**), $\forall\;n\geq N\to |x_n|$ . И правда: $\dfrac{|2+(-1)^n|}{\varepsilon}\leq\dfrac{3}{\varepsilon}< \left[\dfrac{3}{\varepsilon}\right] +1=N\leq n \Rightarrow \dfrac{|2+(-1)^n|}{\varepsilon}< n \Rightarrow |x_n|$

(**) Очевидно, что для любого допустимого значения $\varepsilon$ выражение $\left[\dfrac{3}{\varepsilon}\right] +1$ определено и конечно, и при этом натуральное число (как сумма неотрицательного целого числа и 1). (**)

А это и означает, что предел данной последовательности равен 0

___________________________

2) a=1. Тогда $x_1=\dfrac{1}{1}=1; x_2=\dfrac{1}{2}; x_3=\dfrac{1}{3}; x_4=\dfrac{1}{4}; x_5=\dfrac{1}{5}; x_6=\dfrac{1}{6}$

$x_1=\dfrac{2+(-1)^1}{1}=1;\;x_2=\dfrac{2+(-1)^2}{2}=1\dfrac{1}{2};\;x_3=\dfrac{2+(-1)^3}{3}=\dfrac{1}{3};\;x_4=\dfrac{2+(-1)^4}{4}=\dfrac{3}{4};\;x_5=\dfrac{2+(-1)^5}{5}=\dfrac{1}{5};\;x_6=\dfrac{2+(-1)^6}{6}=\dfrac{1}{2}.$