Докажите, что не зависит от допустимых значений переменной значение выражения:

Показать ответ

Ответ:

dianaaloyts

02.02.2022 08:35

$\displaystyle \sf \left \{ {{2x^2+2y^2+a^2=a(4x-1)+\sqrt{a}(4y-2a)} \atop {(4\sqrt{a}y-4a-x)(y-x)=0}} \right.$

ОДЗ: a ≥ 0

Геометрия уравнений:

· 1-ое уравнение системы можно представить в виде

$\displaystyle \sf (x-a)^2+(y-\sqrt{a})^2=\frac{1}{2}(a-\sqrt{a})^2$

- это уравнение окружности с центром, движущимся по кривой y=√x и радиусом (a-√a)/√2.

· 2-ое уравнение - совокупность двух прямых

$\left[ \begin{gathered} \sf y =x \\ \sf \displaystyle y=\frac{x+4a}{4\sqrt{a}} \\ \end{gathered} \right$

1) Исследуем взаимное расположение первой прямой и окружности. Подставим y = x в первое уравнение системы. Получим квадратное уравнение:

$\sf \displaystyle 4x^2-4(a+\sqrt{a})x+(a+\sqrt{a})^2=0 \\ \frac{D}{4}=4(a+\sqrt{a})^2-4(a+\sqrt{a})^2=0$

⇒ прямая y = x является касательной к окружности при любых a ≥ 0, что дает нам одно решение системы:

$\sf \displaystyle x=y=\frac{a+\sqrt{a}}{2}$

(!) Заметим, что при a = 0 и a = 1 окружность вырождается в точку (0, 0) и (1, 1) соответственно ⇒ система имеет только одно решение при этих значениях a.

2) Исследуем взаимное расположение второй прямой и окружности. Подставим y = (x+4a)/(4√a) в первое уравнение системы. Получим квадратное уравнение:

$\sf \displaystyle \left(2+\frac{1}{8a}\right)x^2-4ax+a^2+2a\sqrt{a}-a=0 \\ \frac{D}{4}=4a^2-\left(2+\frac{1}{8a}\right)(a^2+2a\sqrt{a}-a)=2a^2-4a\sqrt{a}+\frac{15a}{8}-\frac{\sqrt{a}}{4}+\frac{1}{8}$

Оценим дискриминант при значениях a = 2, a = 3, a ≥ 4:

· a = 2

$\sf \displaystyle \frac{D}{4}=\frac{1}{8}(16\cdot 2^2-32\cdot 2\sqrt{2}+15\cdot 2-2\sqrt{2}+1)=\frac{1}{8}(95-66\sqrt{2})0$

т.к. 95/66 = (99 - 4)/66 = 1.5 - (2/33) > 1.5 - (7/100) = 1.43 > √2 ≈ 1.41

· a = 3

$\sf \displaystyle \frac{D}{4}=\frac{1}{8}(16\cdot 3^2-32\cdot 3\sqrt{3}+15\cdot 3-2\sqrt{3}+1)=\frac{1}{8}(190-98\sqrt{3})0$

т.к. 190/98 = (196-6)/98 = 2 - (6/98) > 2 - (7/100) = 1.93 > √3 ≈ 1.73

· a ≥ 4

$\sf \displaystyle \frac{D}{4}=2a^2-4a\sqrt{a}+\frac{15a}{8}-\frac{\sqrt{a}}{4}+\frac{1}{8}=\frac{1}{8}(16a^2-32a\sqrt{a}+15a-2\sqrt{a}+1)0$

- очевидно, т. к.

$\sf \displaystyle 16a^2+15a+132a\sqrt{a}+2\sqrt{a}$

ведь

$\sf \displaystyle 16a^2\geq 32a\sqrt{a} \\ 15a+1 2\sqrt{a}$

Таким образом, при целочисленном a ≥ 2 прямая пересекает окружность в двух различных точках и, соответственно, дает 2 решения системы. Убедимся что они не совпадают с полученным ранее решением при целочисленных a. Для этого подставим x = y = = (a + √a)/2 в уравнение y = (x + 4a)/(4√a), откуда найдем a = (33+5√41)/32 - не явл. целочисленным.

При a = 0 и a = 1 система имеет одно решение. При a ≥ 2, a ∈ Z система имеет 3 решения.

ответ: при любых целочисленных a ≥ 0.

0,0(0 оценок)

Ответ:

LastGirlOnEarth

19.08.2020 12:14

Пусть х ч - время работы одного крана, тогда (х + 5) ч - время работы другого крана.

Работу по разгрузке примем за единицу, тогда 1/х - работа, которую выполнит первый кран за 1 ч, 1/(х+5) - работа, которую выполнит второй кран за 1 ч, 1/6 - совместная работа за 1 ч. Уравнение:

1/х + 1/(х+5) = 1/6

Приводим обе части уравнения к общему знаменателю х · (х +5) · 6

(х + 5) · 6 + х · 6 = х · (х + 5)

6х + 30 + 6х = х² + 5х

х² + 5х - 12х - 30 = 0

х² - 7х - 30 = 0

D = b² - 4ac = (-7)² - 4 · 1 · (-30) = 49 + 120 = 169

√D = √169 = ±13

х = (-b±√D)/2a

х₁ = (7-13)/(2·1) = (-6)/2 = -3 (не подходит, так как < 0)

х₂ = (7+13)/(2·1) = 20/2 = 10 (ч) - время работы одного крана

10 + 5 = 15 (ч) - время работы другого крана