Докажите, что при любом натуральном n число 3 в степени n + 2(n+ 1) + 5 в степени n делится на 4

Для доказательство просто рассмотрим два случая: когда - нечетное и когда - четное.

1). - нечетное, то есть .

При всех нечетных натуральных число имеет остаток при делении на .

Доказать это можно таким образом: при число . При получаем . Дальше, при : . Как видим, круг замкнулся и на нечетных будет выскакивать остаток при делении , а при четных - .

Также, при любом натуральном значении число имеет остаток при делении на .

Так происходит, потому что само число , возводимое в степень, равняется по модулю .

Третье слагаемое: будет нацело делиться на :

Значит, если - нечетное, то:

При нечетных все, как видите, сходится.

2). - четное, или же .

Как мы определили ранее, в этом случае и .

При этом второе слагаемое:

Найдем всю сумму:

И при четных утверждение работает.

Как известно, каждое натуральное число либо четное, либо нечетное (третьего не дано) и никаких других натуральных чисел, которые не являются четными и не являются нечетными одновременно, науке неизвестно.

Так что мы рассмотрели все случаи, и в каждом из них результат был равен , то есть делился на .