В
Все
М
Математика
О
ОБЖ
У
Українська мова
Д
Другие предметы
Х
Химия
М
Музыка
Н
Немецкий язык
Б
Беларуская мова
Э
Экономика
Ф
Физика
Б
Биология
О
Окружающий мир
Р
Русский язык
У
Українська література
Ф
Французский язык
П
Психология
А
Алгебра
О
Обществознание
М
МХК
В
Видео-ответы
Г
География
П
Право
Г
Геометрия
А
Английский язык
И
Информатика
Қ
Қазақ тiлi
Л
Литература
И
История
nurmuh4med
nurmuh4med
17.12.2022 17:29 •  Алгебра

Докажите, что при любом натуральном значении n выполняет равенство: 1^2+2^2+3^2+= n(n+1)(2n+1) 6

Показать ответ
Ответ:
Darvin2004
Darvin2004
09.07.2020 08:59
Доказательство методом математической индукции
База индукции. При n=1 утверждение справедливо.
Действительно 1^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

Гипотеза индукции. Пусть утверждение выполняется для некоторого натурального n=k, т.е. верно равенство
1^2+2^2+3^2+...+k^2=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}

Индукционный переход. Докажем что тогда утверждение справедливо при n=k+1, т.е. что справедливо равенство
1^2+2^2+3^2+..+k^2+(k+1)^2=\frac{(k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1)}{6}
или переписав правую сторону равенства, предварительно упростив
1^2+2^2+3^2+...+k^2+(k+1)^2=\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}

1^2+2^2+3^2+...+k^2+(k+1)^2=
используем гипотезу
\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}+(k+1)^2=\\\\(k+1)(\frac{k(2k+1)}{6}+(k+1)}=\\\\(k+1)(\frac{2k^2+k+6k+6}{6}=\\\\\frac{(k+1)(2k^2+7k+6)}{6}=\\\\\frac{(k+1)(2k^2+4k+3k+6)}{6}=\\\\\frac{(k+1)((2k^2+4k)+(3k+6))}{6}=\\\\\frac{(k+1)(2k(k+2)+3(k+2)}{6}=\\\\\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}

Согласно принципу математической индукции данное утверждение справедливо для любого натурального n. Доказано
0,0(0 оценок)
Полный доступ
Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку
logo
Начни делиться знаниями
Вход Регистрация
Что ты хочешь узнать?
Спроси ai-бота