Докажите двумя , что функция F является первообразной функции f, если: а) F(x) = х3/3- x5/5; f(x) = х2- х4; б)F(x)=х7/7 +х16/6; f(x)= х6 +х15 (Использовать в одном определение первообразной, в другом — теорему о нахождении первообразной суммы функций).

Y = - x² - 3x + 1 - квадратичная функция. Графиком этой функции является парабола, ветви направлены вниз. Вершину параболы будем искать следующим образом:

m = -b/2a = - (-3)/2*(-1) = -1,5 - координата абсциссы.

Подставим теперь в функцию

y = - (-1.5)² - 3 * (-1.5) + 1 = 3,25

(-1.5; 3.25) - координаты вершины параболы.

у = х+5 - линейная функция. Графиком линейной функции является прямая, которая проходит через точки (0;5), (-5;0)

Графики пересекаются в точке (-2;3), где x=-2 и y=3 - решения системы уравнения

A) y=x²-10x+16    y=4-2x    S=?
x²-10x+16=4-2x
x²-8x+12=0    D=16
x₁=6    x₂=2     ⇒
S=₂∫⁶(4-2x-(x²-10x+16))dx=₂∫⁶(4-2x-x²+10x-16)dx=₂∫⁶(8x-x²-12)dx=
=(4x²-x³/3-12x) ₂|⁶=4*6²-6³/3-12*6-(4*2²-2³/3-1*2)=144-72-72-(16-(8/3)-12*2)=
=-(16-2²/₃-24)=10²/₃≈10,67.
ответ: S≈10,67 кв. ед.
б) y=x²+4x     y=-x²+2x     S=?
x²+4x=-x²+2x
2x²+2x=0   |÷2
x²+x=0
x*(x+1)=0
x₁=-1     x₂=0   ⇒
₋₁∫⁰(-x²+2x-x²-4x)dx=₋₁∫⁰(-2x²--2x)dx=-2*₋₁∫⁰(x²+x)dx=-2*(x³/3+x²/2) ₋₁|⁰=
=-2*((0³/3+0²/2)-((-1)³/3+(-1)²/2))=-2*(0-(1/3+1/2)=-2*(-1/6)=1/3≈0,33.
ответ: S≈0,33 кв. ед.