Докажите нервенство: а^4+2а^3 в+2ав^3+в^4> = 6а^2в^2 ; буду

a⁴+2a³b+2ab³+b⁴ ≥ 6a²b²

Перегруппируем члены:

a⁴+2ab*(a²+b²)+b⁴ -6a²b² ≥ 0

(a²+b²)²+2ab*(a²+b²)-4a²b² ≥ 0

(a²+b²)*(a²+b²+2ab)-4a²b² ≥ 0

(a²+b²)*(a+b)²-4a²b² ≥ 0

(a²+b²)*(a+b)² ≥ 4a²b²

Поскольку

(a-b)² ≥ 0 => a²+b² ≥ 2ab и

(a+b)² = a²+2ab+b² ≥ 2ab, то

(a²+b²)*(a+b)² ≥ 2ab*2ab ≥ 4a²b².