Пример 1. В урне 10 белых и 8 черных шаров. Наудачу отобраны 5 шаров. Найти вероятность того, что среди них окажется ровно 2 белых шара.
Подставляем в формулу (1) значения: K=10K=10, N−K=8N−K=8, итого N=10+8=18N=10+8=18, выбираем n=5n=5 шаров, из них должно быть k=2k=2 белых и соответственно, n−k=5−2=3n−k=5−2=3 черных. Получаем:
Пример 2. В урне 5 белых и 5 красных шаров. Какова вероятность вытащить наудачу оба белых шара?
Здесь шары не черные и белые, а красные и белые. Но это совсем не влияет на ход решения и ответ.
Подставляем в формулу (1) значения: K=5K=5 (белых шаров), N−K=5N−K=5 (красных шаров), итого N=5+5=10N=5+5=10 (всего шаров в урне), выбираем n=2n=2 шара, из них должно быть k=2k=2 белых и соответственно, n−k=2−2=0n−k=2−2=0 красных. Получаем:
Пример 1. В урне 10 белых и 8 черных шаров. Наудачу отобраны 5 шаров. Найти вероятность того, что среди них окажется ровно 2 белых шара.
Подставляем в формулу (1) значения: K=10K=10, N−K=8N−K=8, итого N=10+8=18N=10+8=18, выбираем n=5n=5 шаров, из них должно быть k=2k=2 белых и соответственно, n−k=5−2=3n−k=5−2=3 черных. Получаем:
P=C210⋅C38C518=45⋅568568=517=0.294.P=C102⋅C83C185=45⋅568568=517=0.294.
Пример 2. В урне 5 белых и 5 красных шаров. Какова вероятность вытащить наудачу оба белых шара?
Здесь шары не черные и белые, а красные и белые. Но это совсем не влияет на ход решения и ответ.
Подставляем в формулу (1) значения: K=5K=5 (белых шаров), N−K=5N−K=5 (красных шаров), итого N=5+5=10N=5+5=10 (всего шаров в урне), выбираем n=2n=2 шара, из них должно быть k=2k=2 белых и соответственно, n−k=2−2=0n−k=2−2=0 красных. Получаем:
P=C25⋅C05C210=10⋅145=29=0.222.P=C52⋅C50C102=10⋅145=29=0.222.
Пример 3. В корзине лежат 4 белых и 2 черных шара. Из корзины достали 2 шара. Какова вероятность, что они одного цвета?
Здесь задача немного усложняется, и решим мы ее по шагам. Введем искомое событие
A=A= (Выбранные шары одного цвета) = (Выбрано или 2 белых, или 2 черных шара).
Представим это событие как сумму двух несовместных событий: A=A1+A2A=A1+A2, где
A1=A1= (Выбраны 2 белых шара),
Формула:
sinx*cosx*2
Синус двойного угла: sin2x =
tgx/(1+tg^2x)*2
Синус двойного угла (через тангенс): sin2x =
cos^2x - sin^2x
Косинус двойного угла: cos2x =
(1-tg^2x)/(1+tg^2x)
Косинус двойного угла (через тангенс): cos2x =
tgx/(1-tg^2x)*2
Тангенс двойного угла: tg2x =
sinx*cosy + cosx*siny
Синус суммы: sin(x+y)
sinx*cosy - cosx*siny
Синус разности: sin(x-y)
cosx*cosy - sinx*siny
Косинус суммы: cos(x+y)
cosx*cosy + sinx*siny
Косинус разности: cos(x-y)
(tgx+tgy)/(1-tgx*tgy)
Тангенс суммы: tg(x+y)
(tgx-tgy)/(1+tgx*tgy)
Тангенс разности: tg(x-y)
sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2)*2
Сумма синусов: sinx+siny =
cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2)*2
Разность синусов: sinx-siny =
cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)*2
Сумма косинусов: cosx+cosy =
sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)*(-2)
Разность косинусов: cosx-cosy =
sin(x+y)/(cosx*cosy)
Сумма тангенсов: tgx+tgy =
sin(x-y)/(cosx*cosy)
Разность тангенсов: tgx-tgy =
(cos(x-y)-cos(x+y))/2
Произведение синусов: sinx*siny =
(sin(x-y)+sin(x+y))/2
Произведение синуса и косинуса: sinx*cosy =
(cos(x-y)+cos(x+y))/2
Произведение косинусов: cosx*cosy =
(1-cos2x)/2
Формула понижения степени для синуса: sin^2x =
(1+cos2x)/2
Формула понижения степени для косинуса: cos^2x =
(1-cos2x)/(1+cos2x)
Формула понижения степени для тангенса: tg^2x =
sin2x/(1+cos2x) == (1-cos2x)/sin2x
Формулы половинного угла для тангенса: tgx =
arcsina*(-1)^n + pi*n, n~Z
sinx=a => x =
+/-arccosa + 2pi*n, n~Z
cosx=a => x =
arctga + pi*n, n~Z