Алгебра: Довести,що 16^5+8^6 кратне 5

Довести,що 16^5+8^6 кратне 5

Показать ответ

Ответ:

PROMES

27.07.2022 09:01

Найти массу тела, ограниченного цилиндрической поверхностью x²=2y и плоскостями x+z=1 , 2y+z=2 , если в каждой его точке объёмная плотность численно равна ординате этой точки.

=========================================

m = ρ·V , где m - масса тела, V - объём тела,

ρ (x, y, z) = y - объёмная плотность по условию

$\boldsymbol{m = \iiint\limits_V {\rho(x,y,z) }\ dx\ dy\ dz = \iiint\limits_V {y}\ dx\ dy\ dz}$

Проекция цилиндрической поверхности x²=2y на плоскость xOy - парабола y=0,5x². Ограничена по y≥0 снизу, но не ограничена сверху.

x+z=1, 2y+z=2 - уравнения плоскостей. Для нахождения проекции линии их пересечения на плоскость xOy составим систему

$\displaystyle\left \{ {{2y+z=2} \atop {x+z=1}} \right.\ \ \ -\\\\~~~2y-x=1\ \ \ \Rightarrow\ \ \ y=\dfrac{x+1}2$

0 ≤ y ≤ 0,5(x + 1) - границы интегрирования по у

Точки пересечения параболы y=0,5x² и прямой y=0,5(x+1) на плоскости xOy

$0,5x^2=0,5(x+1)\ \ \ \big|\cdot 2\\x^2=x+1\\x^2-x-1=0\\D=1+4=5\ \ \ \ \ \ \ \ x_{1,2}=\dfrac{1\pm\sqrt5}2\\\\\boldsymbol{\dfrac{1-\sqrt5}2\leq x\leq \dfrac{1+\sqrt5}2}$

- границы интегрирования по х

Осталось определить, какая из плоскостей по z лежит ниже. Для этого достаточно подставить координаты вершины параболы для нахождения аппликаты точек пересечения плоскостей с цилиндрической поверхностью.

x = 0; y = 0

x + z = 1; 0 + z = 1; z = 1 - (0;0;1) - точка плоскости z=1-x

2y + z = 2; 2·0 + z = 2; z = 2 - (0;0;2) - точка плоскости z=2-2y

1 - x ≤ z ≤ 2 - 2y - границы интегрирования по z

$\displaystyle m = \iiint\limits_V {y}\ dx\ dy\ dz=\int\limits^\frac{1+\sqrt5}2_\frac{1-\sqrt5}2dx\ \int\limits^\frac{x+1}2}_0y\ dy\int\limits^{2-2y}_{1-x}dz\\\\\int\limits^{2-2y}_{1-x}dz=z\bigg|^{2-2y}_{1-x}=2-2y-1+x=x-2y+1\\\\\int\limits^\frac{x+1}2}_0y(x-2y+1)\ dy=\int\limits^\frac{x+1}2}_0\big(xy-2y^2+y\big)\ dy=\\\\=\dfrac{xy^2}2-\dfrac{2y^3}3+\dfrac {y^2}2\bigg|^{\frac{x+1}2}_0=y^2\Bigg(\dfrac{x}2-\dfrac{2y}3+\dfrac 12\Bigg)\bigg|^{\frac{x+1}2}_0=$

$=\Bigg(\dfrac{x+1}2\Bigg)^2\cdot \Bigg(\dfrac{x}2-\dfrac{2(x+1)}6+\dfrac 12\Bigg)-0=\\\\=\dfrac{(x+1)^2}4\cdot \Bigg(\dfrac{3x-2x-2+3}6\Bigg)=\dfrac{(x+1)^3}{24}$

$\displaystyle\int\limits^\frac{1+\sqrt5}2_\frac{1-\sqrt5}2\dfrac{(x+1)^3}{24}\ dx=\dfrac 1{24}\cdot \int\limits^\frac{1+\sqrt5}2_\frac{1-\sqrt5}2(x+1)^3\ d(x+1)=\\\\\\=\dfrac 1{24}\cdot\dfrac{(x+1)^4}4\bigg|^\frac{1+\sqrt5}2_\frac{1-\sqrt5}2=\dfrac 1{96}\cdot(x+1)^4\bigg|^\frac{1+\sqrt5}2_\frac{1-\sqrt5}2=\\\\\\=\dfrac 1{96}\cdot\Bigg(\bigg(\dfrac{1+\sqrt5}2+1\bigg)^4-\bigg(\dfrac{1-\sqrt5}2+1\bigg)^4\Bigg)=\\\\=\dfrac 1{96}\cdot\Bigg(\bigg(\dfrac{3+\sqrt5}2\bigg)^4-\bigg(\dfrac{3-\sqrt5}2\bigg)^4\Bigg)=$

$=\dfrac1{96}\cdot \dfrac 1{16}\cdot \bigg(\Big(3+\sqrt5}\Big)^4-\Big(3-\sqrt5}\Big)^4\bigg)=\\\\=\dfrac1{1536}\cdot \bigg(\Big(3+\sqrt5}\Big)^2+\Big(3-\sqrt5}\Big)^2\bigg)\bigg(\Big(3+\sqrt5}\Big)^2-\Big(3-\sqrt5}\Big)^2\bigg)=\\\\=\dfrac1{1536}\cdot 28\cdot\bigg(3+\sqrt5+3-\sqrt5\bigg)\bigg(3+\sqrt5-3+\sqrt5\bigg)=\\\\=\dfrac7{384}\cdot6\cdot2\sqrt5=\dfrac{7\sqrt5}{32}$